Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica
Professores: Henrique Bursztyn e Jorge Zubelli
- Livros texto :
As referências básicas do curso são:
- V. Arnold : Mathematical Methods of Classical Mechanics , second edition, Springer-Verlag.
- R. Abraham and J. Marsden : Foundations of Mechanics , Addison-Wesley.
- J. Marsden and T. Ratiu: Introduction to Mechanics and Symmetries , TAM 17, Springer-Verlag.
- R. Mañe: Global Variational Methods in Conservative Dynamics IMPA, 1991.
Outros livros serão recomendados no decorrer do curso.
- Aulas: Terça/Quinta 13:30 - 15:00 na sala 232. (Algumas Sextas
podem ser utilizadas para reposição.)
- Ementa: O curso é uma introdução aos fundamentos matemáticos da mecânica clássica, incluindo os pontos de vista
Lagrangeano e Hamiltoniano. De forma mais específica, os assuntos que trataremos incluem:
- Mecânica Lagrangeana: introdução ao cálculos das variações, equações de Euler-Lagrange.
- Transformada de Legendre e equações de Hamilton, teorema de Liouville.
- Mecânica Lagrangeana em variedades diferenciáveis; métricas e geodésicas.
- Teorema de Noether e princípio de d'Alembert.
- Mecânica Hamiltoniana, formulação simplética.
- Álgebra linear simplética.
- Formas diferenciais, cálculo em variedades; introdução à teoria de deRham.
- Variedades simpléticas, fibrados cotangentes.
- Campos Hamiltonianos, colchete de Poisson.
- Teorema de Darboux, atlas simplético.
- Invariante integral de Poincaré-Cartan.
- Equações de Hamilton-Jacobi, funções geradoras; princípio de Huygens.
- Sistemas completamente integráveis, teorema de Arnold-Liouville, variáveis ação-ângulo.
- Simetrias: grupos e álgebras de Lie, ações em variedades. Aplicações momento e redução simplética.
- Corpo rígido, movimento de fluidos incompressiveis. Outros examples: sistema de Toda, Calogero-Moser, KdV.
- Avaliação: Será baseada em:
- listas de problemas
- Apresentação final (em tema a ser decidido junto com os professores).
Possíveis temas incluem: sistemas integráveis, pares de Lax, sistemas de Toda; variedades de Poisson, estrutura local;
sistemas não-holonomos; variáveis ação-ângulo, seus aspectos globais; índice de Maslov, quantizacao WKB; Metodo de Moser e formas normais, aplicacoes na existencia de pontos fixos
de simplectomorfismos e orbitas periodicas;
teoria de perturbação e teorema KAM...
- Listas:
- Lista1
- Lista2 Prazo: 22 de Outubro (partes I e II) e 29 de Outubro (parte III).
- Lista3 Prazo: 26 de Novembro.
- Apresentacoes do curso:
- 4 de Dezembro: Problema dos 3 corpos restrito (Rodrigo), Metodo WKB e quantizacao (Roberto), Teoria de pertubacoes e teorema KAM (Vinicius);
- 6 de Dezembro: Metodo de Moser e pontos fixos de simplectomorfismos (Fernando), Estrutura simpletica das orbitas coadjuntas (Naldisson), Fluxos geodesicos completamente integraveis (Fabio).
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