Superfícies de Riemann - Agosto-Dezembro/2020
Professor:
Jorge
Vitório Pereira
Horário
das Aulas: Terças
e Quintas das 10:30 às 12:00
Google Meet: https://meet.google.com/wvr-yryd-gry
Zoom: Clique aqui
Programa
O curso certamente cobrirá os
seguintes tópicos
- Teorema de Riemann-Hurwitz
- Automorfismos de superfícies de Riemann
- Feixes
- Divisores e fibrados lineares
- Teorema de Riemann-Roch
- Mergulho tri-canônico
- Pontos de Weierstrass
- Relações de Riemann e Jacobianas
- Teorema de Abel-Jacobi
Caso o tempo permita, e haja interesse da audiência,
cobriremos alguns dos temas a seguir
- Prova do teorema da uniformização
- Teorema de Belyi
- Conexões holomorfas e correspondência de
Riemann-Hilbert
- Formulação clássica do Teorema de Abel e sua
recíproca
- Dessingularização de curvas
- ....
Bibliografia
- Bost, Introduction
to compact Riemann surfaces, Jacobians, and Abelian Varieties
- Forster, Lectures on Riemann surfaces
- Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces
- Narasimhan, Compact Riemann surfaces, Birkhäuser
- Reyssat, Quelques aspects de Surfaces de Riemann. Birkhäuser
- Saint-Gervais, Uniformisation
des surfaces de Riemann. ENS Éditions.
- Pereira, Pirio, An
invitation to web geometry. Springer
Notas de Aula
Superfícies
de Riemann
(versão 27/10/2020)
Avaliação
A avaliação do curso será feita através
de listas de exercícios (70% da nota) e uma
apresentação final (30% da nota).
Sumário das Aulas
18/08.
Definição de superfícies de Riemann. Exemplos:
poliedros, superfícies Riemannianas, curvas algébricas,
continuação analítica. Slides Video
20/08. Aplicações holomorfas entre superfícies de Riemann. Forma normal local. Grau local. Grau. Slides Video
25/08.
Classificação de superfícies compactas
orientáveis. Triangulações. Fórmula de
Riemann-Hurwitz. Quociente de superfícies de Riemann por grupos
finitos. Slides Vídeo
27/08. Aplicações da fórmula de Riemann-Hurwitz. Subgrupos finitos de Aut(P(1)). Teorema de Hurwitz. Slides Video
01/09. Fibrados vetorias. Fibrados lineares. Grupo de Picard. Divisores. Divisores principais. Slides Video
03/09. Pré-feixes.
Feixes. Espalhamento de um pré-feixe. Núcleo, imagem e
conúcleo. Sequências exatas. Slides Video
08/09. Cohomologia de Cech. Slides Video
10/09. Sequência longa em cohomologia associada a uma sequência curta de feixes. Isomorfismo de de Rham. Slides Video
15/09. Formas diferenciais em
variedades complexas. Cohomologia de Dolbeault. Lema de
Dolbeault-Grothendieck. Isomorfismo de Dolbeault. Slides Video
17/09. Cohomologia de Dolbeault de superfícies de Riemann. Slides Video
22/09. Fibrados lineares sobre
superfícies de Riemann. Teoremas clássicos da
análise complexa na linguagem dos feixes. Existência de
seções meromorfas para fibrados lineares. Slides Video
24/09. Primeira versão
do Teorema de Riemann-Roch. Refinamento da fórmula de
Riemann-Hurwitz. Superfícies de Riemann de gênero 0.
Slides Video
29/09. Teorema dos Resíduos. Teorema de Riemann-Roch. Slides Video
01/10. Aplicações em espaços projetivos. Slides Video
06/10. Aplicações
em espaços projetivos. Mergulho tri-canônico.
Superfícies de Riemann de gênero 1. Slides Video
08/10. Superfícíes de Riemann hiperelípticas. Slides Video
13/10. Pontos de inflexão. Pontos de Weierstrass. Semigrupo de valores. Teorema de Schwarz. Slides Video
20/10. Relações bilineares de Riemann. A Jacobiana de uma superfície de Riemann. Slides Video
22/10. Lei de reciprocidade. Formas logarítmicas com pólos prescritos. Teorema de Abel. Slides Video
27/10. Teorema de Jacobi. Teorema de Torelli (enunciado). Slides Video
03/11. Princípio de Dirichlet. Famílias de Perron. Existência de funções meromorfas. Slides Video
05/11. Teorema de uniformização. Slides Video