Superfícies de Riemann - Agosto-Novembro/2019
- Professor:
Jorge
Vitório Pereira
- Horário
das Aulas: Segundas
e Quartas das 10:30 às 12:00
- Não haverá aulas nos
dias 19/08 e 21/08 para permitir que os alunos participem da Escola de
Topologia Simplética.
O curso certamente cobrirá os
seguintes tópicos
- Teorema de Riemann-Hurwitz
- Recobrimento universal de superfícies de Riemann
- Automorfismos de superfícies de Riemann
- Divisores e fibrados lineares
- Teorema de Riemann-Roch
- Dualidade de Serre
- Mergulho tri-canônico
- Pontos de Weierstrass
- Relações de Riemann e Jacobianas
- Teorema de Abel-Jacobi
Caso o tempo permita, e haja interesse da audiência,
cobriremos alguns dos temas a seguir
- Prova do teorema da uniformização
- Teorema de Belyi
- Conexões holomorfas e correspondência de
Riemann-Hilbert
- Formulação clássica do Teorema de Abel e sua
recíproca
- Dessingularização de curvas
- ....
- Bost, Introduction
to compact Riemann surfaces, Jacobians, and Abelian Varieties
- Forster, Lectures on Riemann surfaces
- Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces
- Narasimhan, Compact Riemann surfaces, Birkhäuser
- Reyssat, Quelques aspects de Surfaces de Riemann. Birkhäuser
- Saint-Gervais, Uniformisation
des surfaces de Riemann. ENS Éditions.
- Pereira, Pirio, An
invitation to web geometry. Springer
- Lista 1 Exercícios: 4.1, 4.2, 5.2, 8.1,8.2, 9.1,
9.2, 9.3 da versão de 30/09/2019. Entregar 09/10
05/08.
Definição de superfícies de Riemann. Exemplos: as
três superfícies de Riemann simplesmente conexas,
poliedros, superfícies Riemannianas, curvas algébricas,
continuação analítica
07/08. Propriedades básicas de
aplicações entre superfiícies de Riemann.
Princípio da identidade, teorema da aplicação
aberta, formal normal local. Multiplicadade de aplicação.
Grau de uma aplicação
entre
superfícies de Riemann compactas.
12/08. Classificação de
superfícies compactas orientáveis.
Triangulações. Característica de Euler.
Fórmula de Riemann-Hurwitz.
14/08. Quociente de
superfícies de Riemann por grupos finitos.
Classificação dos subgrupos finitos do grupo de
automorfismos da reta projetiva. Teorema de Hurwitz.
26/08. Fibrados vetorias.
Fibrados holomorfas lineares. Grupo de Picard. Divisores. Fibrados
associados. Fibrados principais.
28/08. Feixes,
pré-feixes, espalhamento de um pré-feixe, feixe associado
a um pré-feixo, morfismos de feixes, sequências exatas de
feixes.
02/09. Cohomologia de Cech.
Sequência longa de cohomologia. Divisores e fibrados associados
em termos cohomológicos. Isomorfismo de de Rham.
04/09.
Revisão sobre feixes. Sequência longa de
cohomologia (correção).
09/09. Formas diferenciais.
Tipos de formas diferenciais. Fórmula integral de Cauchy para
funções diferenciáveis. Cohomologia de Dolbeault.
11/09. Lema de
Dolbeault-Grothendieck. Isomorfismo de Dolbeault. Teorema de
Mittag-Leffler.
16/09. Cohomologia de Dolbeault
de abertos do plano complexo. Teorema
dos resíduos. Ferramenta
básica. Primeiro grupo de cohomologia do feixe estrutural e
formas holomorfas. Cohomologia de Dolbeault de grau (1,1).
18/09. Grau de fibrados
lineares. Característica de Euler de feixes. Uma primeira
versão do Teorema de Riemann-Roch.
23/09.
Gênero e cohomologia do
feixe estrutural. Cohomologia do feixe de funções
meromorfas.
25/09. Versão forte do
Teorema de Riemann-Roch.
30/09. Aplicações
em espaços projetivos e sistemas lineares.
02/10. Superfícies de
Riemann de gênero um. Superfícies
hiperelípticas. Aplicação canônica. Mergulho
tri-canônico.
07/10. Pontos de
inflexão de sistemas lineares. Wronskiano.
09/10. Pontos de Weierstrass.
Número de pontos de Weierstrass. Finitude do grupo de
automorfismos de superfícies de Riemann compactas de
gênero maior ou igual à 2.
16/10. Homologia de
superfícies compactas orientáveis. Produto de
interseção. Relações bilineares de Riemann.