Análise Complexa - Agosto-Novembro/2010
- Professor:
Jorge
Vitório Pereira
- Horário
das Aulas: Segundas
e Quartas das 10:30 às 12:00
- Monitores:
Artem Raibekas e Conrado Costa
- Horário
da Monitoria: Segundas das 17:00 às 18:30
- A
avaliação será feita
através de
três provas escritas.
- Primeira prova: dia 8 de setembro. Horário: 09:30-12:30
- Dia 15 de setembro não haverá aula.
- Segunda prova: dia 27 de outubro
- Não haverá aula dia 11 de outubro
- Terceira prova: dia 26 de novembro
1. Teorema de Cauchy e
Aplicações
Funções
no plano complexo
Séries
Integração ao longo de curvas
Teorema de Goursat
Teorema de Cauchy
Fórmulas integrais de Cauchy
Funções Harmônicas
Aplicações: Teorema de Morera,
sequências de
funções holomorfas, Teorema de Liouville,
Princípio de Reflexão de Schwarz
2.
Funções Meromorfas, Logaritmos, e
Funções Inteiras
Fórmula dos
Resíduos
Singularidades
Princípio do argumento
Logaritmo
Fórmula de Jensen
Funções de ordem finita
Produtos de Weierstrass
Teorema de Fatoração de Hadamard
3.
Aplicações Conformes
Equivalência
Conforme
Lema de Schwarz
Automorfismos do disco de Poincaré
Teorema de Montel
Teorema de representação conforme de
Riemann
Integrais de Schwarz-Christoffel
- Stein & Shakarchi, Complex Analysis. Princeton
Lectures in Analysis II (Disponível
para consulta)
- Ahlfors, Complex Analysis
- Lins Neto, Funções de uma variável complexa
- Rudin, Real and Complex Analysis
09/08. Funções holomorfas (definição), equações de Cauchy-Riemann
11/08. Séries de potências, integração ao longo de curvas
16/08. Teorema de Goursat, existência de primitivas, Teorema de Cauchy no disco, homotopia entre curvas
18/08. Invariância por
homotopia da integral de funções holomorfas, Teorema de
Cauchy, fórmulas integrais de Cauchy
23/08. Desigualdades de Cauchy.
Expansão em séries de potência. Teorema de
Liouville. Princípio da
indentidade. Teorema de Morera. Sequências de
funções holomorfas.
25/08. Funções
holomorfas via integrais. Princípio da Reflexão. Teorema
de Aproximação de Runge.
30/08. Existência de funções inteiras universais ( Teorema de Birkhoff ). ( Matéria extra, não será cobrada na prova. )
01/09. Revisão da primeira parte do curso.
08/09. Primeira Prova
13/09. Singularidades isoladas de funções
meromorfas, fórmula dos resíduos, Teorema de
Extensão de Riemann, Teorema de Casorati-Weierstrass
20/09. Plano complexo
estendido, reta projetiva, funções meromorfas globais no
são racionais, superfícies de Riemann.
22/09. Logaritmo, derivada logaritimica, Princípio do Argumento.
27/09. Teorema de
Rouché, Teorema da Aplicação aberta,
Princípio do Máximo, Teorema de Koebe-Bieberbach
29/09. Propriedade do Valor Médio. Série de Laurent.
04/10. Ordem de crescimento de funções inteiras. Fórmula de Jensen.
06/10. Produtos infinitos. Teorema de Weierstrass. Teorema de Mittag-Leffler.
13/10. Revisão
18/10. Teorema de Hadamard
20/10. Aula de Exercícios
25/10. Aula de Exercícios
27/10. Segunda Prova
01/11. Aplicações Conformes. Equivalência conforme entre o disco e o semi-plano.
03/11. Lema de Schwarz. Automorfismos do disco e do semi-plano. Teorema de Montel.
08/11. Teorema de Montel. Teorema de Riemann ( aplicação conforme )
10/11. Integrais de Schwarz-Christoffel. Extensões de aplicações conformes ao bordo.
17/11. Aplicações conformes entre discos e polígonos
22/11. Aula de Exercícios
24/11. Aula de Exercícios
26/11. Terceira Prova