Geometria Simplética
Professor: Henrique Bursztyn
- Anúncio: Haverá aula de reposição sexta,
dia 28 de abril. Nao teremos aula de 5 a 21 de Junho.
- Livros texto :
- Cannas da Silva, A.: Lectures on symplectic geometry ,
Lectures Notes in Mathematics 1764, Springer-Verlag.
- McDuff, D., Salamon, D: Introduction to Symplectic Topology ,
Oxford Math. Monographs, Oxford Univ. Press, 1995.
- Aulas: Seg/Qua 13:30 - 15:00 na sala 232. (Algumas Sextas
serão utilizadas para reposição).
- Ementa: O curso é uma introdução à geometria simplética.
Assuntos que cobriremos incluem:
- Álgebra linear simplética;
- Variedades simpléticas e simplectomorfismos; estrutura simplética
do fibrado cotangente.
- Subvariedades (lagrangianas, isotrópicas, co-isótropicas....)
- Método de Moser, teoremas de Darboux-Weinstein (teorema da vizinhanca lagrangiana, aplicações a pontos fixos de simplectomorfismos).
- Estruturas quase-complexas campatíveis, geometria Kähler.
- Elementos de mecânica hamiltoniana: campos e sistemas hamiltonianos,
colchetes de Poisson, princípios variacionais;
- Sistemas integráveis, teorema de Arnold-Liouville, variaveis açao-angulo.
- Geometria hamiltoniana: ações do grupo de simplectomorfismos,
aplicações momento (obstruções para existência, unicidade).
- Geometria de aplicações momento: redução simplética, exemplos (espacos de moduli de fibrados planos sobre superficies);
teorema de Duistermaat-Heckman, teorema de convexidade de
Atiyah-Guillemin-Sternberg,
- Tópicos adicionais (dependendo do tempo/interesse da audiência):
variedades tóricas, teorema de Delzant;
Tópicos em topologia simplética (teorema
``non-squeezing'' de Gromov, invariantes globais e capacidades simpleticas ).
- Avaliação: Sera baseada em:
- Listas de problemas (em média a cada duas semanas);
- Lista 1. Entrega dia 3 de abril, em sala.
- Lista 2. Entrega dia 24 de abril, em sala.
- Lista 3. Entrega dia 17 de maio, em sala.
- Lista 4. Entrega dia 21 de junho, em sala.
- Projeto de fim de curso: artigo expositório sobre algum tema
(escolhido pelo aluno) relacionado à geometria simplética (a escolha do tema deve ser feita até meados de maio ).
Algumas possibilidades são tópicos em:
- Topologia/dinâmica simplética:
curvas pseudo-holomorfas e aplicações, teorema ``non-squeezing'' e aplicacões,
homologia de Floer e conjecturas de Arnold, invariantes de Gromov-Witten etc...
- Geometria simpletica de espaços de moduli em teoria
de calibre, invariantes topologicos;
- Cohomologia de espacos reduzidos:
teorema de Kirwan, localização, cohomologia equivariante...
- Redução simplética singular (teorema de Lerman-Sjammar), orbifolds simpleticos;
- Quantizacao geometrica, redução e quantização (conjectura de Guillemin-Sternberg)...
- Redução Kähler/hiper-Kähler, aplicações.
- Variedades de Calabi-Yau, subvariedades lagrangianas especiais...
- Geometria de Poisson, groupóides simpléticos, quantização por deformacão.
- Geometria complexa generalizada
- Variedades tóricas, teoria de Delzant, cortes simpleticos.
- Geometria/topologia de sistemas integráveis,
variáveis ação-ângulo globais, aplicações...
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