Geometria de Aplicações Momento

Professor: Henrique Bursztyn

Sobre aplicações momento: Surgiram no estudo de sistemas mecânicos com simetrias, tendo como exemplos clássicos os momentos linear e angular em física. Algumas das idéias básicas foram desenvolvidas ao longo do seculo XIX (Poisson, Hamilton, Jacobi, Lie...), mas a formulação atual é devida a Kostant, Souriau e Smale (1965-1970). Aplicações momento são ferramenta fundamental em geometria simplética e suas aplicações.
O curso: Após uma rápida revisão das aplicações momento clássicas e de suas principais propriedades, o curso focará em variações/generalizações da teoria clássica que surgiram, em diferentes contextos, a partir de 1990. Ao longo do curso, apresentaremos diversas estruturas geométricas com papel central nessas novas teorias, e.g. algebroides/grupoides de Lie, estruturas de Poisson e grupoides simpleticos, bialgebras de Lie e grupos de Lie-Poisson, estruturas de Dirac e colchetes de Courant, cohomologia equivariante, estruturas complexas generalizadas, supergeometria etc...
A ementa (tentativa) é a seguinte:
- Revisão das aplicações momento clássicas em geometria simplética; existência/unicidade, redução simplética, outras propriedades (e.g. convexidade).
- Estruturas de Poisson, morfismos de Poisson. Folheações simpléticas e pares duais.
- Grupoides e algebroides de Lie, suas ações.
- Grupoides simpléticos; aplicações momento em geometria de Poisson.
- Bialgebras de Lie e grupos de Lie-Poisson, ações de Poisson.
- Colchetes de Courant e estruturas de Dirac; morfismos de Dirac, propriedades functoriais.
- Aplicações momento em geometria de Dirac; grupoides pre-simpléticos.
- Estruturas de Dirac em espacos homogêneos D/G; geometria quase-Poisson.
- Aplicações momento com valores em grupos de Lie; espaços de moduli e ações Hamiltonianas de grupos de laços.
- Estruturas complexas generalizadas e aplicações momento.
- Outras aplicações momento: Aplicações momento "universais" (Evens-Lu), aplicações momento "otimas" (Ortega-Ratiu), aplicações momento "abstratas" (Guillemin-Ginzburg-Karshon)...
Pré-requisitos : Geometria diferencial (incluindo variedades, formas diferenciais e grupos de Lie), alguma familiaridade com geometria simplética.
Aulas: Seg/Qua 13:30 - 15:00 na sala 236. Utilizaremos o mesmo horário nas Sextas para horas de atendimento/discussões e para possíveis aulas extras/reposição/apresentações de alunos...
Avaliação: Será baseada em um projeto de fim de curso, incluindo artigo expositório e apresentações (uma ou mais). Uma lista de possibilidades de temas estará disponível em breve.
Referências/Livros texto: O curso terá diversas referências, mas não seguirá de perto nenhum livro texto em particular. Alguns que tratam da teoria "clássica" são:
- A. Cannas da Silva: Lectures on symplectic geometry , Lectures Notes in Mathematics, Springer-Verlag.
- V. Guillemin, S. Sternberg: Symplectic techniques in physics , Cambridge University Press.
- R. Abraham, J. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley.
- F. Kirwan: Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry, Princeton University Press, 1985.
Para geometria de Poisson, algebroides/grupoides de Lie:
- J.-P. Dufour, N.-T. Zung: Poisson Structures and their Normal Forms , Progress in Mathematics, Birkhauser,
- A. Coste, P. Dazord, A. Weinstein: Groupoïdes symplectiques , Publ. Dept. Math., Univ. Claude-Bernard, Lyon.
- A. Cannas da Silva, A. Weinstein: Geometric methods for noncommutative algebras, Berkeley Lecture Notes (AMS),
- K. Mackenzie: General theory of Lie groupoids and Lie algebroids , London Math. Soc. Lecture Note series,
- M. Crainic, R. L. Fernandes, Lectures on integrability of Lie brackets, Arxiv: math/0611259.
Livros sobre aplicacoes momento "além do clássico":
- J.-P. Ortega, T. Ratiu: Momentum maps and Hamiltonian reduction , Progress in Mathematics, Birkhauser.
- V. Guillemin, V. Ginzburg, Y. Karshon: Moment maps, cobordisms, and Hamiltonian group actions , Math. Surveys and Monographs, AMS.
A maior parte do material do curso está em artigos. Aqui estao dois "surveys":
- S. Donaldson: Moment maps in differential geometry Surveys in differential geometry, Vol. VIII, International Press, 2003.
- A. Weinstein: Geometry of momentum , Arxiv:Math.SG/0208108.
Outros artigos que serão usados no curso incluem:
- A. Weinstein, K. Mikami: Moments and reduction for symplectic groupoids, Publ. RIMS, 1988.
- M. Crainic, R. L. Fernandes: Integrability of Poisson brackets, JDG, 2004.
- M. Condevaux, P. Dazord, P. Molino: Geometrie du moment, Publ. Dept. Math, Univ. Claude-Bernard, Lyon, 1988.
- J.-H. Lu: Momentum mappings and reduction of Poisson actions, MSRI series, springer, 1991.
- A. Alekseev, A. Malkin, E. Meinrenken: Lie group valued moment maps , JDG, 1998.
- A. Alekseev, H. Bursztyn, E. Meinrenken: Pure spinors on Lie groups , Arxiv: 0709.1452.
- H. Bursztyn, M. Crainic, A. Weinstein, C. Zhu: Integration of twisted Dirac brackets , Duke Math. J., 2004.
- H. Bursztyn, M. Crainic: Dirac geometry, quasi-Poisson actions and D/G-valued moment maps, Arxiv: 0710.0639.
- N. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, M. Rocek: Hyper-Kahler metrics and supersymmetry CMP, 1987.
- H. Bursztyn, G. Cavalcanti, M. Gualtieri: Reduction of Courant algebroids and generalized complex structures , Adv. in Math., 2007.
Outras referências serão indicadas ao longo do curso.

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