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\font\caa=cmbx10 scaled \magstep1 % Titulo Inicial
  
\topmatter
  
\centerline {\bf{SOBRE SOLUBILIDADE POR RADICAIS REAIS}}  
  
\bigskip
\bigskip  
 
\centerline{ C{\sevenrm ARLOS} G{\sevenrm USTAVO} T{\sevenrm AMM
DE} A{\sevenrm RAUJO} M{\sevenrm OREIRA} }


\medskip
  
\centerline{\bf I M P A }  
\centerline{Estrada Dona Castorina, 110 }  
\centerline{22460-320, Rio de Janeiro-RJ}  
  
\vglue .5in

\flushpar
{\caa Introdu\c c\~ao:} Em um artigo publicado na Matem\'atica Universit\'aria
n\esimo\ 12 entitulado ``Um teorema sobre solubilidade de equa\c c\~oes
polinomiais por radicais reais'' ([3]) foi provado que se um polin\^omio
$f(x)\in \bold Q[x]$ tem todas as suas ra\'\i zes reais e sol\'uveis por
radicais reais ent\~ao $\lv \text{Gal}(f) \rv$ \'e uma pot\^encia de 2, e vale
a rec\'\i proca. Nesse caso podemos concluir que as ra\'\i zes de $f$ s\~ao
sol\'uveis por ra\'\i zes quadradas. Em particular deduzimos que se $p$ e $q$
s\~ao inteiros e $\cos(\frac{ p\pi}{q})$ \'e sol\'uvel por radicais reais,
ent\~ao $\cos(\frac{p\pi}q)$ \'e sol\'uvel por ra\'\i zes quadradas, caso em
que $q$ se fatora como produto de uma pot\^encia de 2 por primos de Fermat (da
forma $2^{2^k}+1$) distintos.

No artigo citado foi sugerida a defini\c c\~ao de solubilidade por radicais
reais para n\'umeros complexos que ser\'a usada neste artigo: dizemos que
$z=a+bi$  ($a\in\re$ e $b\in\re$) \'e sol\'uvel por radicais reais se suas
partes real e imagin\'aria
$a$ e $b$ o forem. Isso equivale a dizer que uma
extens\~ao $K|\bold Q$ \'e sol\'uvel por radicais reais se houver uma torre
radical $\bold Q=L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_n\subset L_{n+1}$, com
$K\subset L_{n+1}$, $L_{n+1}=L_n(i)$, $L_n\subset\re$ (portanto
$L_n=L_{n+1}\cap\re)$, e $L_{k+1}=L_k(\a_k)$, com $P_{\a_k|L_k}=X^{p_k}-
\a_k^{p_k}$, $\a_k^{p_k}\in L_k$ e $p_k$ primo. Neste artigo provaremos que
se $K|\bold Q$ \'e uma extens\~ao normal sol\'uvel por radicais reais (n\~ao
supomos $K\subset \re$ e $p$ \'e um primo que divide $[K:\bold Q]$ ent\~ao
$p=2$ ou $p$ \'e primo de Fermat.

O resultado principal do artigo anterior pode ser encontrado num livro de
Tschebotar\"ow e Schwerdtfeger [4], e como um problema de uma lista de
exerc\'\i cios do Prof. W.-D. Geyer, na qual tamb\'em se encontra o seguinte
problema, relacionado com solubilidade por radicais reais: Se $f(x)\in \bold
Q[x]$ \'e um polin\^omio irredut\'\i vel de grau \'\i mpar com uma raiz real
$\a$ sol\'uvel por radicais reais ent\~ao $\a$ \'e a \'unica raiz real de $f$.
Neste artigo apresentaremos tamb\'em uma prova desse resultado.
A demonstra\c c\~ao do 1\esimo\ resultado ser\'a baseada num lema que afirma
que se $K|\bold Q$ est\'a contido em uma torre radical $\bold Q=L_0\subset
L_1\subset\dots\subset L_n$ $(K\subset L_n)$ e $K|\bold Q$ \'e normal ent\~ao
$L_n$ cont\'em as ra\'\i zes $p$-\'esimas da unidade para todo primo $p$ que
divida $[K:\bold Q]$, resultado que continua v\'alido se substitu\'\i mos
$\bold Q$ por um corpo qualquer. Deste lema seguir\'a tamb\'em o resultado
central do
artigo anterior, o que torna este artigo independente do outro.

\vglue .2in

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{\caa Se\c c\~ao I: Solubilidade por radicais reais e extens\~oes normais.}
\nopagebreak

\proclaim{Lema} Suponha que $K|\bold Q$ seja normal e que exista uma torre
fortemente radical $\bold Q= L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_n$, com
$L_{k+1}=L_k(\a_k)$, com $P_{\a_k|L_k}=X^{p_k}-\a_k^{p_k}$, $p_k$ primo para
$k=0,1,\dots,n-1$, com $K\subset L_n$. Ent\~ao, para qualquer primo $p$ que
divida $[K:\bold Q]$ temos $e^{2\pi i/p}\in L_n$.
\endproclaim

\demo{\bf Demonstra\c c\~ao} Seja $p$ um primo que divida $[K:\bold Q]$. Tome
$H<\text{Gal}(K|\bold Q)$ com $\lv H \rv=p$ (tal $H$ existe pelo 1\esimo\
teorema de Sylow. Veja [2], p\'ag. 159). Seja $M=\text{Fix}(H)$. Temos assim
$K|M$ normal de grau $p$. Considere os corpos $N_i=L_i\cdot M$, $0\le i\le n$.
Seja $r$ tal que $K\not\subset N_r$ mas $K\subset N_{r+1}$, e seja $\ga\in
K\setminus M$. Temos $K=M(\ga)$, pois $[K:M]$ \'e primo, e portanto n\~ao h\'a
corpos entre $M$ e $K$. 
$$
\matrix
 & & & & & M \cdot L_n \\
& & & & & \\
K & & & & M \cdot L_r \\
\!\!\! p \Bigl| & & & & &  \\
& & M \cdot L_1 & & & L_n\supset K \\
M & & & & & \cdot \\
\Bigl| & & & &  & \\
& & & & & \\
\Bigl| & & L_1& & & \\
& & & & & \\
\bold Q=L_0
\endmatrix
$$
Seja $P_{\ga|M}=(X-\ga_1)(X-\ga_2)\dots(X-\ga_p)$ onde $\ga_1:=\ga$. Temos
$\ga_i\in N_{r+1}\setminus N_r$, $1\le i\le p$, pois se $\ga_i\in N_r$,
$M(\ga_i)\subset N_r\Rightarrow K\subset N_r$, absurdo. 
Suponhamos que $X^{p_r}-\a_r^{p_r}$ seja irredut\'\i vel sobre $N_r$. Ent\~ao
$[N_{r+1}:N_r]=p_r$, que \'e primo, donde n\~ao h\'a corpos entre $N_r$ e
$N_{r+1}$.
 Definimos uma rela\c c\~ao de equival\^encia em
$\{\ga_1,\ga_2,\dots,\ga_p\}$ por $\ga_i\equiv \ga_j\Leftrightarrow\ga_i$ \'e
conjugado a $\ga_j$ sobre $N_r$. As classes de equival\^encia t\^em
$[N_{r+1}:N_r]=p_r$ elementos cada. Portanto, $p_r$ divide $p\Rightarrow
p_r=p$. Como $N_{r+1}=N_r(\ga)$ e os conjugados $\ga_i$ de $\ga$ pertencem a
$K\subset N_{r+1}$, temos que $N_{r+1}|N_r$ \'e normal. Assim, os conjugados de
$\a_r$ sobre $N_r$ t\^em que estar em $N_{r+1}\Rightarrow\a_r$, $e^{2\pi
i/p}\cdot \a_r\in N_{r+1}\Rightarrow e^{2\pi i/p}=(e^{2\pi i/p}\a_r)/\a_r\in
N_{r+1}\subset L_n$.

Suponhamos agora que $X^{p_r}-\a_r^{p_r}$ seja redut\'\i vel sobre $N_r$. Nesse
caso $X^{p_r}-\a_r^{p_r}$ deve ter raiz em $N_r$, pois $p_r$ \'e primo (veja
[1], p\'ag. 125), ou seja, existe $k$ primo com $p_r$ com $\a_r\cdot e^{2k\pi
i/p_r}\in N_r$, e nesse caso $e^{2\pi i/p_r}\in N_{r+1}$, e de fato,
$N_{r+1}=N_r(e^{2\pi i/p_r})$, donde $[N_{r+1}:N_r]|(p_r-1)$, pois, definindo
em $(\bold Z/p_r\bold Z)^*$ a rela\c c\~ao de equival\^encia $k_1\sim k_2$ se
$e^{2k_1\pi i/p_r}$ e $e^{2k_2\pi i/p_r}$ s\~ao conjugados sobre $N_r$ cada
classe de equival\^encia ter\'a $[N_{r+1}:N_r]$ elementos. Por outro lado,
$[N_r(\ga):N_r]=p$ (pois, como antes, deve dividir $p$), donde
$p|[N_{r+1}:N_r]\Rightarrow p_r\equiv 1 (\text{mod }p$). Basta portanto provar
o lema no caso $K=Q(e^{2\pi i/q})$, com $q\equiv 1(\text{mod }p)$. Supondo por
absurdo que $e^{2\pi i/p}\notin L_n$, podemos supor que $q$ \'e o menor primo
congruente a 1 m\'odulo $p$ tal que exista uma tal torre com $e^{2\pi
i/p}\notin L_n$. Na nota\c c\~ao anterior ter\'\i amos $\a_r\cdot e^{2k\pi
i/p_r}\in N_r=L_r\cdot M\subset L_r(e^{2\pi i/q})$, donde $p_r=[L_{r+1}:L_r]\le
[L_r(e^{2\pi i/q}):L_r]\le q-1$, $p_r\equiv q(\text{mod }p)$ e $\bold Q(e^{2\pi
i/p_r})$ est\'a contido numa torre fortemente radical com $e^{2\pi i/p}\notin
L_n$, absurdo.
\qed \enddemo 

\medskip

\proclaim{Teorema I.1} Se $K|\bold Q$ \'e normal e existe uma torre radical
$\bold Q=L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_n\subset\re$ tal que $K\subset
L_n$ ent\~ao $[K:\bold Q]$ \'e uma pot\^encia de $2$.

\endproclaim

\medskip

\demo{Demonstra\c c\~ao} Suponha que exista um primo \'\i mpar $p$ que divida
$[K:\bold Q]$. Ent\~ao, pelo lema, devemos ter $e^{2\pi i/p}\in L_n\subset\re$,
absurdo. \qed \enddemo

\medskip

\demo{Corol\'ario I.1} Se $p$ e $q$ s\~ao inteiros e $mdc(p,q)=1$ ent\~ao
$\cos(\frac{2\pi p}{q})$ \'e sol\'uvel por radicais reais se e s\'o se $q$
\'e produto de uma pot\^encia de 2 por primos de Fermat distintos.
\enddemo

\medskip

\demo{Demonstra\c c\~ao} $\bold Q(\cos(\frac{2\pi\cdot p}{q}))=\bold
Q(\xi)\cap\re$, onde $\xi=e^{2\pi i/q}$ \'e uma raiz $q$-\'esima primitiva da
unidade (pois $\bold Q(\xi)=\bold Q(\xi^p)$, e $\cos(\frac{2\pi\cdot
p}q)=\frac12(\xi^p+\xi^{-p}))$, ou seja, $\bold Q(\cos(\frac{2\pi\cdot
p}q))=\text{Fix}(\sigma)$ onde $\sigma\in\text{Gal}(\bold Q(\xi)|\bold Q)$ \'e
a conjuga\c c\~ao complexa, e $\lg \sigma  \rg=\{id,\sigma\}$. Como 
$\text{Gal}(\bold Q(\xi)|\bold Q)\simeq(\Z/q\Z)^\ast$ \'e abeliano, toda
subextens\~ao de $\bold Q(\xi)|\bold Q$ \'e normal $\Rightarrow\bold
Q(\cos(\frac{2\pi\cdot
p}q))|\bold Q$ \'e normal e est\'a contida em $\re$. Se for sol\'uvel por
radicais reais, devemos ter $[\bold Q(\cos(\frac{2\pi\cdot p}q)):\bold Q]$
pot\^encia de $2\Rightarrow[\bold Q(\xi):\bold Q]$ \'e pot\^encia de 
$2\Leftrightarrow\vr(q)$ \'e pot\^encia de 2, onde $\vr$ \'e a fun\c c\~ao de
Euler, o que equivale a $q$ ser produto de uma pot\^encia de 2 por primos de
Fermat distintos (ver cap\'\i tulo 10 de [1]). Para a rec\'\i proca, ver
cap\'\i tulo 10 de [1]. \qed\enddemo

\medskip

\demo{Obs.} Vale a rec\'\i proca do Teorema I.1. Na verdade, se $K|\bold Q$ for
normal e $[K:\bold Q]$ for pot\^encia de 2 ent\~ao os elementos de $K$ s\~ao
sol\'uveis por ra\'\i zes quadradas (e construt\'\i veis com r\'egua e
compasso). Ver Cap\'\i tulo 10 de [1].
\enddemo

\medskip

\proclaim{Teorema I.2} Se $K|\bold Q$ \'e normal e existe uma torre radical
$\bold Q=L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_n\subset L_{n+1}$ com
$L_n\subset\re$ e $L_{n+1}=L_n(i)$ $(L_n=L_{n+1}\cap\re)$, tal que $K\subset
L_{n+1}$ ent\~ao $p|[K:\bold Q]\Rightarrow p=2$ ou $p=2^{2^r}+1$ para algum
$r\in\bold N$. \endproclaim

\medskip

\demo{Demonstra\c c\~ao} Pelo lema, dado $p|[K:\bold Q]$, devemos ter $e^{2\pi
i/p}\in L_{n+1}\Rightarrow\cos(\frac{2\pi}p)=\frac12(e^{2\pi i/p}+(e^{2\pi
i/p})^{-1})\in L_n=L_{n+1}\cap\re$, donde $\cos(\frac{2\pi}p)$ \'e sol\'uvel
por radicais reais, e pelo Corol\'ario I.1, $p=2$ ou $p$ \'e primo de Fermat.
\qed \enddemo

\vglue .2in

\flushpar
{\caa Se\c c\~ao II: Solubilidade por radicais reais e polin\^omios de grau
\'\i mpar.}
\nopagebreak
\proclaim{Teorema II.1} Seja $f(x)\in\bold Q[x]$ um polin\^omio irredut\'\i vel
de grau \'\i mpar que tenha uma raiz real $\a$ sol\'uvel por radicais reais.
Ent\~ao $\a$ \'e a \'unica raiz real de $f(x)$. \endproclaim

\medskip

\demo{Demonstra\c c\~ao} Suponha que exista uma torre radical $\bold
Q=L_0\subset L_1\subset \dots\subset L_n\subset\re$, com 
$L_{k+1}=L_k(\a_k)$,$P_{\a_k|L_k}=X^{p_k}-\a_k^{p_k}$, $p_k$ primo, com $\a\in
L_n$. Suponha que $\a$ tenha um conjugado real $\be\ne\a$. Ent\~ao existe um
isomorfismo $\sigma\colon\bold Q(\a)\to\bold Q(\be)$. Considere os corpos
$M_k=\bold Q(\a)\cdot L_k$. Tentaremos estender o homomorfismo
$\sigma\colon\bold Q(\a)=M_0\to\co$ a homomorfismos $\sigma\colon M_k\to\co$
que tenham a propriedade 
$$
\sigma|_{L_k}=Id\tag *
$$
((*) implica em particular que $\sigma(M_k)\subset\re)$. Suponha que
$M_k\underset{\ne}\to{\subset} M_{k+1}$. Ent\~ao $M_{k+1}=M_k(\a_k)$,
$P_{\a_k|M_k}=X^{p_k}-\a_k^{p_k}$, como antes. Se $\sigma$ est\'a definido em
$M_k$ satisfazendo (*), ou seja, $\sigma|_{L_k}=Id$, ent\~ao podemos 
estend\^e-lo a $M_{k+1}$ levando $\a_k$ em $\a_k$ (pois
$P_{\a_k|M_k}^\sigma=P_{\a_k|M_k})$, e teremos $\sigma|_{M_{k+1}}$ satisfazendo
(*). Suponha agora que $M_{k+1}=M_k$ e que $p_k$ \'e \'\i mpar.
Ent\~ao $\a_k\in M_k$, e como $\sigma(M_k)\subset\re$ e $\sigma(\a_k)$ \'e raiz
de $P_{\a_k|L_k}^\sigma=X^{p_k}-\a_k^{p_k}$ devemos ter necessariamente
$\sigma(\a_k)=\a_k$ pois $\a_k$  \'e a \'unica raiz real de $X^{p_k}-
\a_k^{p_k}$ $\Rightarrow\sigma|_{L_{k+1}}=Id\Rightarrow\sigma|_{M_{k+1}}$
satisfaz (*). Assim, s\'o n\~ao podemos garantir a exist\^encia de uma
extens\~ao de $\sigma$
a $M_{k+1}$ satisfazendo (*) se $M_{k+1}=M_k$ e $p_k=2$, caso em que temos
$M_k=L_k(\a)=M_{k+1}\supset L_{k+1}$ e $[L_{k+1} : L_k]=2\Rightarrow
[L_k(\a) : L_k]$ \'e par. Como certamente n\~ao podemos estender $\sigma$ a
$L_n$ satisfazendo (*) (sen\~ao $\sigma|_{L_n}=Id\Rightarrow\sigma(\a)=\a)$,
para cada $\be$ existe um $k$ com $[L_k(\a) : L_k]$ par tal que \'e poss\'\i
vel estender o homomorfismo $\sigma\colon\bold Q(\a)\to\bold Q(\be)$ que leva
$\a$ em $\be$ a $\bold Q(\a)\cdot L_k$ com $\sigma|_{L_k}=Id$. Seja $k_0$ o
menor $k$ tal que existe $\be$ conjugado real de $\a$ para o qual acontece o
fen\^omeno acima. Ent\~ao $[L_{k_0}(\a) : L_{k_0}]$ \'e par. Por outro lado,
$\a$ \'e conjugado a $\be$ sobre $L_{k_0}$ para todo conjugado real $\be$ de
$\a$, donde \{ra\'\i zes reais de $P_{\a|L_{k_0}}\}=$ \{ra\'\i zes reais de
$P_{\a|\bold Q}\}$, que t\^em um n\'umero \'\i mpar de elementos donde o grau
de $P_{\a|L_{k_0}}$ seria \'\i mpar, absurdo.
\qed\enddemo

\medskip

\demo{Obs.} O Teorema I.1 pode ser obtido como consequ\^encia do II.1. De fato,
se $K|\bold Q$ \'e uma extens\~ao normal, real e sol\'uvel por radicais reais
com $[K:\bold Q]\ne 2^n$, $\forall n$, ent\~ao, se $H<\text{Gal}(K|\bold Q)$
\'e
um 2-Sylow, $\text{Fix}(H)|\bold Q$ \'e real, de grau \'\i mpar e sol\'uvel por
radicais reais, absurdo, pois dado $\a\in\text{Fix}(H)\setminus\bold Q$ temos
$P_{\a|\bold Q}$ irredut\'\i vel de grau \'\i mpar, mas as ra\'\i zes de
$P_{\a|\bold Q}$ est\~ao todas em $K$ (pois $K|\bold Q$ \'e normal), e portanto
s\~ao reais, contradizendo o Teorema II.1. \enddemo

\vglue .2in

\flushpar
{\caa Se\c c\~ao III: Exemplos.}
\nopagebreak
\medskip
\flushpar
{\bf Exemplo III.1:} Mostraremos que o grupo de Galois n\~ao determina a
solubilidade por radicais reais para extens\~oes normais complexas (ao
contr\'ario de extens\~oes normais reais, caso em que a ordem do grupo de
Galois j\'a determina se  a extens\~ao \'e sol\'uvel por radicais reais ou
n\~ao).

Considere os corpos $K_1=\bold Q(\root 3\of 2, e^{2\pi i/3})$ e 
$K_2=\bold Q(\cos(\frac\theta 3), \cos(\frac{\theta+2\pi}3))$, onde $\theta$ \'e
tal que $\cos\theta=\frac35$ e $\sen\theta=\frac45$. Temos $K_1|\bold Q$ e
$K_2|\bold Q$ normais (s\~ao os fechos normais de $\bold Q(\root 3\of 2)$ e
$\bold Q(\cos(\frac\theta3))$, respectivamente). Temos claramente $K_1$
sol\'uvel por radicais reais. Por outro lado, $K_2\subset\re$.  Se provarmos
que $[K_2:\re]=6$ concluiremos que $K_2$ n\~ao \'e sol\'uvel por radicais
reais, pelo Teorema I.1. Entretanto, nesse caso teremos $\text{Gal}(K_1|\bold
Q)\simeq\text{Gal}(K_2|\bold Q)\simeq S_3$ (s\~ao ambos fechos normais de
extens\~oes de grau 3 n\~ao normais). Para isso, note que 
$\cos(\frac{\theta+2\pi}3)=-\frac12\cos(\frac\theta3)+\frac{\sqrt
3}2\sen(\frac\theta 3)\Rightarrow$ temos
$\bold Q(\cos(\frac\theta3),\cos(\frac{\theta+2\pi}3))=\bold
Q(\cos(\frac\theta3)$,
$\sqrt 3\sen(\frac\theta3))$. Por outro lado, como $\sen(3x)=\sen x(4\cos^2x-
1)$, $\frac45=\sen(\theta)=\sen(\frac\theta3)(4\cos^2(\frac\theta3)-1)\Rightarrow
\sen(\frac\theta3)=\frac4{5(4\cos^2(\frac\theta3)-1)}\in\bold
Q(\cos(\frac\theta3))$
donde $\sqrt 3\in\bold Q(\cos(\frac\theta3)$,
$\cos(\frac{\theta+2\pi}3))\Rightarrow 2 [K_2:\bold Q]$. Al\'em disso, como
$\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x$, $4\cos^3(\frac\theta3)-
3\cos(\frac\theta3)=\cos\theta=\frac35\Rightarrow 20 \cos^3(\frac\theta3)-
15\cos(\frac\theta3)-3=0$.
O polin\^omio $20x^3-15x-3$ \'e irredut\'\i vel sobre $\bold Q$ pelo crit\'erio
de Eisenstein e tem como ra\'\i zes $\cos(\frac\theta3)$,
$\cos(\frac{\theta+2\pi}3)$ e $\cos(\frac{\theta+4\pi}3)$, donde $[\bold
Q(\cos(\frac\theta3)):\bold
Q]=3\Rightarrow [K_2:\bold Q]=6$, e $\text{Gal}(K_2|\bold Q)=S_3$.

Nesse caso temos $K_1\not\subset\re$ e $K_2\subset\re$, o que pode incomodar o
leitor. Faremos uma pequena modifica\c c\~ao do exemplo para que nenhum dos
corpos esteja contido em $\re$: Sejam $\ov K_1=K_1(i)$ e $\ov K_2=K_2(i)$.
Temos $\text{Gal}(\ov K_1)$ gerado pelos homomorfismos $a$ e $b$, definidos
por:
$$
a\colon(\root 3\of 2\to\xi\root 3\of 2, \quad \xi\to\xi, \quad i\to -i)
$$
e
$$
b\colon(\root 3\of 2\to \root 3\of 2, \quad \xi\to\xi^2, \quad i\to -i)
$$
onde $\xi=e^{2\pi i/3}$. Temos $\text{ord}(a)=6$, $\text{ord}(b)=2$ e $b\cdot
a=a^5\cdot b$ (ambos s\~ao iguais a $(\root 3\of 2 \to \xi^2 \root 3\of 2$,
$\xi\to\xi^2$, $i\to i))$. J\'a em $\ov K_2$, se $\a_1=\cos(\frac\theta3)$,
$\a_2=\cos(\frac{\theta+2\pi}3)$ e $\a_3=\cos(\frac{\theta+4\pi}3)$ s\~ao os
conjugados de $\cos(\frac\theta3)$, temos $\text{Gal}(\ov K_2)$ gerado por
$\sigma\colon \left( \binom{\a_1\a_2\a_3}{\a_2\a_3\a_1},\,\, i\to-i\right )$ e
$\tau\colon \left( \binom{\a_1\a_2\a_3}{\a_2\a_1\a_3}, \,\, i\to i \right)$,
que s\~ao tais que $\text{ord}(\sigma)=6$, $\text{ord}(\tau)=2$ e
$\tau\circ\sigma=\sigma^5 \circ t$ (ambos s\~ao iguais a 
$\left( \binom{\a_1\a_2\a_3}{\a_1\a_3\a_2}, \,\, i\to -i \right)$).
Pela teoria de grupos gerados por dois elementos (ver [2], p. 114),
$\text{Gal}(\ov K_1)$ e $\text{Gal}(\ov K_2)$ s\~ao isomorfos (na verdade
isomorfos a $S_3\times\Z_2= \lg \sigma_1/,\sigma_2 \rg$ onde 
$\sigma_1=(\binom{1 2 3}{2 3 1}, \ov 1)$ e $\sigma_2=( \binom{1 2 3}{2 1 3},
\ov 0)$ satisfazem $\text{ord}(\sigma_1)=6$, $\text{ord}(\sigma_2)=2$ e
$\sigma_2\sigma_1=\sigma_1^5\sigma_2)$. \qed 

\medskip

\flushpar
{\bf Exemplo III.2:} Veremos agora que n\~ao h\'a outras restri\c c\~oes sobre
os fatores do grau de uma extens\~ao normal sol\'uvel por radicais reais al\'em
da que d\'a o Teorema I.2. De fato, se $q_1,q_2,\dots,q_n$ s\~ao iguais a 2 ou
a primos de Fermat (n\~ao necessariamente distintos), e $p_1=2$, $p_2=3$,
$p_3,\dots,p_n$ s\~ao os primeiros n\'umeros primos ent\~ao $\bold Q(\root
{q_1}\of {p_1}$, $\root{q_2}\of {p_2},\dots,\root{q_n}\of{p_n}$,
$\xi_{q_1},\xi_{q_2},\dots,\xi_{q_n})$ onde $\xi_{q_i}=e^{2\pi i/q_i}$ \'e uma
extens\~ao normal cujo grau \'e m\'ultiplo de $q_1q_2\dots q_n$ (\'e o fecho
normal de $\bold Q(\root{q_1}\of{p_1}\dots, \root{q_n}\of{p_n})=: L$, que
satisfaz $[L:\bold Q]=q_1q_2,\dots,q_n)$. Essa extens\~ao \'e sol\'uvel por
radicais reais, pois \'e gerada por elementos sol\'uveis por radicais reais.

\medskip

\demo{Obs.} Provaremos que efetivamente $[L:\bold Q]=q_1q_2 \cdot\dots\cdot
q_n$: Sejam
$L_0=\bold Q$, $L_i=L_{i-1}(\root{q_i}\of{p_i})$, $1\le i\le n$ (e portanto
$L_n=L$). Basta provar que $[L_{i+1}:L_i]=q_i$, ou que
$P_{\root{q_i}\of{p_i}|L_{i-1}}=X^{q_i}-p_i$. Para isso basta provar que
$\root{q_i}\of{p_i} \notin L_{i-1}$, para $1\le i\le n$ (veja [1], p. 125). Se
n\~ao, seja $k$ o menor \'\i ndice tal que existe $\root{q_k}\of{p_k}\in L_{k-
1}$. Seja $j$ o menor \'\i ndice tal que existam $r_1,r_2,\dots,r_{k-1}\in\Z$
com $\root{q_k}\of{p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_{k-1}^{r_k-1} p_k}\in L_j$ (temos
ent\~ao $j\le k-1)$. N\~ao podemos ter $q_j\ne q_k$, sen\~ao
$x=\root{q_k}\of{p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_{k-1}^{r_{k-1}} p_k}$ \'e tal que
$x\notin
L_{j-1}\Rightarrow[L_{j-1}(x):L_{j-1}]=q_k$, mas $L_{j-1}(x)\subset L_j$, e
$[L_j:L_{j-1}]=q_j\Rightarrow q_k|q_j\Rightarrow q_k=q_j=:q$. Nesse caso temos
$x\in L_{j-
1}(\root q\of{p_j})\Rightarrow$ existem $\a_\ell,\a_{\ell+1},\dots,\a_{q-1}$
com $\a_\ell\ne 0$ $(\ell\ge0)$ tais que 
$X=\a_\ell\root q \of {p_j}^\ell+ \a_{\ell+1} 
\root q \of {p_j}^{\ell+1} +\dots+ \a_{q-1} \root q \of {p_j}^{q-1}\Rightarrow
y=x\cdot \root q \of {p_j}^{-\ell}=\a_\ell+\a_{\ell+1} \root q \of {p_j}
+\dots+ \a_{q-1} \root q \of {p_j}^{q-\ell-1}$ \'e tal que $y^q\in\bold
Q\subset L_{j-1}$ e
$Tr_{L_j|L_{j-1}}(y)=q\cdot \a_\ell\ne0\Rightarrow y\in L_{j-1}$ (para
provarmos isso, observemos que se $y\notin L_{j-1}$, como $y^q\in L_{j-1}$
ter\'\i amos $P_{y|L_{j-1}}=X^q-y^q$, donde $Tr_{L_j|L_{j-1}}(y)=0)$. Por outro
lado, $y\in L_{j-1}$ contradiria a minimalidade de $j$, absurdo. \qed\enddemo

\vglue .3in

\flushpar
{\caa Refer\^encias:}

\medskip

\item{[1]} Endler, Otto, `Teoria dos Corpos', Monografias de Matem\'atica
n\esimo\ 44, IMPA.

\item{[2]} Garcia, Arnaldo e Lequain, Yves, `\'Algebra, um curso de introdu\c
c\~ao', Projeto Euclides, IMPA, 1988.

\item{[3]} Moreira, Carlos Gustavo, `Um teorema sobre solubilidade de equa\c
c\~oes polinomiais por radicais reais', Revista Matem\'atica Universit\'aria
n\esimo\ 12, 1990.

\item{[4]} Tschebotar\"ow, N. e Schwerdtfeger, H., `Grundz\"uge der Galois'
chen Theorie', P. Noordhoff, N.V., 1950.

\enddocument