SOBRE SOLUBILIDADE POR RADICAIS REAIS

CARLOS GUSTAVO TAMM DE ARAUJO MOREIRA

I M P A Estrada Dona Castorina, 110 22460-320, Rio de Janeiro-RJ

Introdução: Em um artigo publicado na Matemática Universitária nō 12 entitulado “Um teorema sobre solubilidade de equações polinomiais por radicais reais” ([3]) foi provado que se um polinômio f(x) ∈ Q[x] tem todas as suas raízes reais e solúveis por radicais reais então |Gal(f)| é uma potência de 2, e vale a recíproca. Nesse caso podemos concluir que as raízes de f são solúveis por raízes quadradas. Em particular deduzimos que se p e q são inteiros e cos(\frac{pπ}{q}) é solúvel por radicais reais, então cos(\frac{pπ}{q}) é solúvel por raízes quadradas, caso em que q se fatora como produto de uma potência de 2 por primos de Fermat (da forma 2^{2^{k}} + 1) distintos.

No artigo citado foi sugerida a definição de solubilidade por radicais reais para números complexos que será usada neste artigo: dizemos que z = a + bi (a ∈ R e b ∈ R) é solúvel por radicais reais se suas partes real e imaginária a e b o forem. Isso equivale a dizer que uma extensão K|Q é solúvel por radicais reais se houver uma torre radical Q = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{n} ⊂ L_{n+1}, com K ⊂ L_{n+1}, L_{n+1} = L_{n}(i), L_{n} ⊂ R (portanto L_{n} = L_{n+1} ∩ R), e L_{k+1} = L_{k}(α_{k}), com P_{α_{k}|L_{k}} = X^{p_{k}} − α_{k}^{p_{k}}, α_{k}^{p_{k}} ∈ L_{k} e p_{k} primo. Neste artigo provaremos que se K|Q é uma extensão normal solúvel por radicais reais (não supomos K ⊂ R e p é um primo que divide [K : Q] então p = 2 ou p é primo de Fermat.

O resultado principal do artigo anterior pode ser encontrado num livro de Tschebotaröw e Schwerdtfeger [4], e como um problema de uma lista de exercícios do Prof. W.-D. Geyer, na qual também se encontra o seguinte problema, relacionado com solubilidade por radicais reais: Se f(x) ∈ Q[x] é um polinômio irredutível de grau ímpar com uma raiz real α solúvel por radicais reais então α é a única raiz real de f. Neste artigo apresentaremos também uma prova desse resultado. A demonstração do 1ō resultado será baseada num lema que afirma que se K|Q está contido em uma torre radical Q = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{n} (K ⊂ L_{n}) e K|Q é normal então L_{n} contém as raízes p-ésimas da unidade para todo primo p que divida [K : Q], resultado que continua válido se substituímos Q por um corpo qualquer. Deste lema seguirá também o resultado central do artigo anterior, o que torna este artigo independente do outro.

Seção I: Solubilidade por radicais reais e extensões normais.

Lema. Suponha que K|Q seja normal e que exista uma torre fortemente radical Q = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{n}, com L_{k+1} = L_{k}(α_{k}), com P_{α_{k}|L_{k}} = X^{p_{k}} − α_{k}^{p_{k}}, p_{k} primo para k = 0, 1, …, n − 1, com K ⊂ L_{n}. Então, para qualquer primo p que divida [K : Q] temos e^{2πi/p} ∈ L_{n}. Demonstração. Seja p um primo que divida [K : Q]. Tome H < Gal(K|Q) com |H| = p (tal H existe pelo 1ō teorema de Sylow. Veja [2], pág. 159). Seja M = Fix(H). Temos assim K|M normal de grau p. Considere os corpos N_{i} = L_{i} · M, 0 ≤ i ≤ n. Seja r tal que K ⊄ N_{r} mas K ⊂ N_{r+1}, e seja γ ∈ K \ M. Temos K = M(γ), pois [K : M] é primo, e portanto não há corpos entre M e K.

M · L_{n}
K  M · L_{r}
p|
M · L_{1}  L_{n} ⊃ K
M  ·
|
|  L_{1}
Q = L_{0}

Seja P_{γ|M} = (X − γ_{1})(X − γ_{2}) … (X − γ_{p}) onde γ_{1} := γ. Temos γ_{i} ∈ N_{r+1} \ N_{r}, 1 ≤ i ≤ p, pois se γ_{i} ∈ N_{r}, M(γ_{i}) ⊂ N_{r} ⇒ K ⊂ N_{r}, absurdo. Suponhamos que X^{p_{r}} − α_{r}^{p_{r}} seja irredutível sobre N_{r}. Então [N_{r+1} : N_{r}] = p_{r}, que é primo, donde não há corpos entre N_{r} e N_{r+1}. Definimos uma relação de equivalência em {γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{p}} por γ_{i} ≡ γ_{j} ⇔ γ_{i} é conjugado a γ_{j} sobre N_{r}. As classes de equivalência têm [N_{r+1} : N_{r}] = p_{r} elementos cada. Portanto, p_{r} divide p ⇒ p_{r} = p. Como N_{r+1} = N_{r}(γ) e os conjugados γ_{i} de γ pertencem a K ⊂ N_{r+1}, temos que N_{r+1}|N_{r} é normal. Assim, os conjugados de α_{r} sobre N_{r} têm que estar em N_{r+1} ⇒ α_{r}, e^{2πi/p} · α_{r} ∈ N_{r+1} ⇒ e^{2πi/p} = (e^{2πi/p}α_{r})/α_{r} ∈ N_{r+1} ⊂ L_{n}.

Suponhamos agora que X^{p_{r}} − α_{r}^{p_{r}} seja redutível sobre N_{r}. Nesse caso X^{p_{r}} − α_{r}^{p_{r}} deve ter raiz em N_{r}, pois p_{r} é primo (veja [1], pág. 125), ou seja, existe k primo com p_{r} com α_{r} · e^{2kπi/p_{r}} ∈ N_{r}, e nesse caso e^{2πi/p_{r}} ∈ N_{r+1}, e de fato, N_{r+1} = N_{r}(e^{2πi/p_{r}}), donde [N_{r+1} : N_{r}]|(p_{r} − 1), pois, definindo em (Z/p_{r}Z)^{∗} a relação de equivalência k_{1} ∼ k_{2} se e^{2k_{1}πi/p_{r}} e e^{2k_{2}πi/p_{r}} são conjugados sobre N_{r} cada classe de equivalência terá [N_{r+1} : N_{r}] elementos. Por outro lado, [N_{r}(γ) : N_{r}] = p (pois, como antes, deve dividir p), donde p|[N_{r+1} : N_{r}] ⇒ p_{r} ≡ 1(mod p). Basta portanto provar o lema no caso K = Q(e^{2πi/q}), com q ≡ 1(mod p). Supondo por absurdo que e^{2πi/p} ∉ L_{n}, podemos supor que q é o menor primo congruente a 1 módulo p tal que exista uma tal torre com e^{2πi/p} ∉ L_{n}. Na notação anterior teríamos α_{r} · e^{2kπi/p_{r}} ∈ N_{r} = L_{r} · M ⊂ L_{r}(e^{2πi/q}), donde p_{r} = [L_{r+1} : L_{r}] ≤ [L_{r}(e^{2πi/q}) : L_{r}] ≤ q − 1, p_{r} ≡ q(mod p) e Q(e^{2πi/p_{r}}) está contido numa torre fortemente radical com e^{2πi/p} ∉ L_{n}, absurdo. □

Teorema I.1. Se K|Q é normal e existe uma torre radical Q = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{n} ⊂ R tal que K ⊂ L_{n} então [K : Q] é uma potência de 2.

Demonstração. Suponha que exista um primo ímpar p que divida [K : Q]. Então, pelo lema, devemos ter e^{2πi/p} ∈ L_{n} ⊂ R, absurdo. □

Corolário I.1. Se p e q são inteiros e mdc(p, q) = 1 então cos(\frac{2πp}{q}) é solúvel por radicais reais se e só se q é produto de uma potência de 2 por primos de Fermat distintos.

Demonstração. Q(cos(\frac{2π·p}{q})) = Q(ξ) ∩ R, onde ξ = e^{2πi/q} é uma raiz q-ésima primitiva da unidade (pois Q(ξ) = Q(ξ^{p}), e cos(\frac{2π·p}{q}) = \frac{1}{2}(ξ^{p} + ξ^{−p})), ou seja, Q(cos(\frac{2π·p}{q})) = Fix(σ) onde σ ∈ Gal(Q(ξ)|Q) é a conjugação complexa, e ⟨σ⟩ = {id, σ}. Como Gal(Q(ξ)|Q) ≃ (Z/qZ)^{∗} é abeliano, toda subextensão de Q(ξ)|Q é normal ⇒ Q(cos(\frac{2π·p}{q}))|Q é normal e está contida em R. Se for solúvel por radicais reais, devemos ter [Q(cos(\frac{2π·p}{q})) : Q] potência de 2 ⇒ [Q(ξ) : Q] é potência de 2 ⇔ φ(q) é potência de 2, onde φ é a função de Euler, o que equivale a q ser produto de uma potência de 2 por primos de Fermat distintos (ver capítulo 10 de [1]). Para a recíproca, ver capítulo 10 de [1]. □

Obs.. Vale a recíproca do Teorema I.1. Na verdade, se K|Q for normal e [K : Q] for potência de 2 então os elementos de K são solúveis por raízes quadradas (e construtíveis com régua e compasso). Ver Capítulo 10 de [1].

Teorema I.2. Se K|Q é normal e existe uma torre radical Q = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{n} ⊂ L_{n+1} com L_{n} ⊂ R e L_{n+1} = L_{n}(i) (L_{n} = L_{n+1} ∩ R), tal que K ⊂ L_{n+1} então p|[K : Q] ⇒ p = 2 ou p = 2^{2^{r}} + 1 para algum r ∈ N.

Demonstração. Pelo lema, dado p|[K : Q], devemos ter e^{2πi/p} ∈ L_{n+1} ⇒ cos(\frac{2π}{p}) = \frac{1}{2}(e^{2πi/p} + (e^{2πi/p})^{−1}) ∈ L_{n} = L_{n+1} ∩ R, donde cos(\frac{2π}{p}) é solúvel por radicais reais, e pelo Corolário I.1, p = 2 ou p é primo de Fermat. □

Seção II: Solubilidade por radicais reais e polinômios de grau ímpar.

Teorema II.1. Seja f(x) ∈ Q[x] um polinômio irredutível de grau ímpar que tenha uma raiz real α solúvel por radicais reais. Então α é a única raiz real de f(x).

Demonstração. Suponha que exista uma torre radical Q = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ ⋯ ⊂ L_{n} ⊂ R, com L_{k+1} = L_{k}(α_{k}),P_{α_{k}|L_{k}} = X^{p_{k}} − α_{k}^{p_{k}}, p_{k} primo, com α ∈ L_{n}. Suponha que α tenha um conjugado real β ≠ α. Então existe um isomorfismo σ: Q(α) → Q(β). Considere os corpos M_{k} = Q(α) · L_{k}. Tentaremos estender o homomorfismo σ: Q(α) = M_{0} → C a homomorfismos σ: M_{k} → C que tenham a propriedade

σ|_{L_{k}} = Id  (*)

((*) implica em particular que σ(M_{k}) ⊂ R). Suponha que M_{k} ⊂_{≠} M_{k+1}. Então M_{k+1} =

M_{k}(α_{k}), P_{α_{k}|M_{k}} = X^{p_{k}} − α_{k}^{p_{k}}, como antes. Se σ está definido em M_{k} satisfazendo (*), ou seja, σ|_{L_{k}} = Id, então podemos estendê-lo a M_{k+1} levando α_{k} em α_{k} (pois P_{α_{k}|M_{k}}^{σ} = P_{α_{k}|M_{k}}), e teremos σ|_{M_{k+1}} satisfazendo (*). Suponha agora que M_{k+1} = M_{k} e que p_{k} é ímpar. Então α_{k} ∈ M_{k}, e como σ(M_{k}) ⊂ R e σ(α_{k}) é raiz de P_{α_{k}|L_{k}}^{σ} = X^{p_{k}} − α_{k}^{p_{k}} devemos ter necessariamente σ(α_{k}) = α_{k} pois α_{k} é a única raiz real de X^{p_{k}} − α_{k}^{p_{k}} ⇒ σ|_{L_{k+1}} = Id ⇒ σ|_{M_{k+1}} satisfaz (*). Assim, só não podemos garantir a existência de uma extensão de σ a M_{k+1} satisfazendo (*) se M_{k+1} = M_{k} e p_{k} = 2, caso em que temos M_{k} = L_{k}(α) = M_{k+1} ⊃ L_{k+1} e [L_{k+1} : L_{k}] = 2 ⇒ [L_{k}(α) : L_{k}] é par. Como certamente não podemos estender σ a L_{n} satisfazendo (*) (senão σ|_{L_{n}} = Id ⇒ σ(α) = α), para cada β existe um k com [L_{k}(α) : L_{k}] par tal que é possível estender o homomorfismo σ: Q(α) → Q(β) que leva α em β a Q(α) · L_{k} com σ|_{L_{k}} = Id. Seja k_{0} o menor k tal que existe β conjugado real de α para o qual acontece o fenômeno acima. Então [L_{k_{0}}(α) : L_{k_{0}}] é par. Por outro lado, α é conjugado a β sobre L_{k_{0}} para todo conjugado real β de α, donde {raízes reais de P_{α|L_{k_{0}}} } = {raízes reais de P_{α|Q}}, que têm um número ímpar de elementos donde o grau de P_{α|L_{k_{0}}} seria ímpar, absurdo. □

Obs.. O Teorema I.1 pode ser obtido como consequência do II.1. De fato, se K|Q é uma extensão normal, real e solúvel por radicais reais com [K : Q] ≠ 2^{n}, ∀n, então, se H < Gal(K|Q) é um 2-Sylow, Fix(H)|Q é real, de grau ímpar e solúvel por radicais reais, absurdo, pois dado α ∈ Fix(H) \ Q temos P_{α|Q} irredutível de grau ímpar, mas as raízes de P_{α|Q} estão todas em K (pois K|Q é normal), e portanto são reais, contradizendo o Teorema II.1.

Seção III: Exemplos.

Exemplo III.1: Mostraremos que o grupo de Galois não determina a solubilidade por radicais reais para extensões normais complexas (ao contrário de extensões normais reais, caso em que a ordem do grupo de Galois já determina se a extensão é solúvel por radicais reais ou não).

Considere os corpos K_{1} = Q(\sqrt[3]{2}, e^{2πi/3}) e K_{2} = Q(cos(\frac{θ}{3}), cos(\frac{θ+2π}{3} )), onde θ é tal que cos θ = \frac{3}{5} e sen θ = \frac{4}{5}. Temos K_{1}|Q e K_{2}|Q normais (são os fechos normais de Q(\sqrt[3]{2}) e Q(cos(\frac{θ}{3})), respectivamente). Temos claramente K_{1} solúvel por radicais reais.

Por outro lado, K_{2} ⊂ R. Se provarmos que [K_{2} : R] = 6 concluiremos que K_{2} não é solúvel por radicais reais, pelo Teorema I.1. Entretanto, nesse caso teremos Gal(K_{1}|Q) ≃ Gal(K_{2}|Q) ≃ S_{3} (são ambos fechos normais de extensões de grau 3 não normais). Para isso, note que cos(\frac{θ+2π}{3} ) = −\frac{1}{2} cos(\frac{θ}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} sen(\frac{θ}{3}) ⇒ temos Q(cos(\frac{θ}{3}), cos(\frac{θ+2π}{3} )) = Q(cos(\frac{θ}{3}), \sqrt{3} sen(\frac{θ}{3})). Por outro lado, como sen(3x) = sen x(4 cos^{2} x − 1), \frac{4}{5} = sen(θ) = sen(\frac{θ}{3})(4 cos^{2}(\frac{θ}{3}) − 1) ⇒ sen(\frac{θ}{3}) = \frac{4}{5(4 cos^{2}( \frac{θ}{3} )−1)} ∈ Q(cos(\frac{θ}{3})) donde \sqrt{3} ∈ Q(cos(\frac{θ}{3}), cos(\frac{θ+2π}{3} )) ⇒ 2[K_{2} : Q]. Além disso, como cos(3x) = 4 cos^{3} x − 3 cos x, 4 cos^{3}(\frac{θ}{3}) − 3 cos(\frac{θ}{3}) = cos θ = \frac{3}{5} ⇒ 20 cos^{3}(\frac{θ}{3}) − 15 cos(\frac{θ}{3}) − 3 = 0. O polinômio 20x^{3} − 15x − 3 é irredutível sobre Q pelo critério de Eisenstein e tem como raízes cos(\frac{θ}{3}), cos(\frac{θ+2π}{3} ) e cos(\frac{θ+4π}{3} ), donde [Q(cos(\frac{θ}{3})) : Q] = 3 ⇒ [K_{2} : Q] = 6, e Gal(K_{2}|Q) = S_{3}.

Nesse caso temos K_{1} ⊄ R e K_{2} ⊂ R, o que pode incomodar o leitor. Faremos uma pequena modificação do exemplo para que nenhum dos corpos esteja contido em R: Sejam \overline{K}_{1} = K_{1}(i) e \overline{K}_{2} = K_{2}(i). Temos Gal(\overline{K}_{1}) gerado pelos homomorfismos a e b, definidos por:

a: (\sqrt[3]{2} → ξ\sqrt[3]{2}, ξ → ξ, i → −i)

e

b: (\sqrt[3]{2} → \sqrt[3]{2}, ξ → ξ^{2}, i → −i)

onde ξ = e^{2πi/3}. Temos ord(a) = 6, ord(b) = 2 e b · a = a^{5} · b (ambos são iguais a (\sqrt[3]{2} → ξ^{2} \sqrt[3]{2}, ξ → ξ^{2}, i → i)). Já em \overline{K}_{2}, se α_{1} = cos(\frac{θ}{3}), α_{2} = cos(\frac{θ+2π}{3} ) e α_{3} = cos(\frac{θ+4π}{3} ) são os conjugados de cos(\frac{θ}{3}), temos Gal(\overline{K}_{2}) gerado por σ: (\binom{α_{1}α_{2}α_{3}}{α_{2}α_{3}α_{1}}, i → −i)

e τ: (\binom{α_{1}α_{2}α_{3}}{α_{2}α_{1}α_{3}}, i → i), que são tais que ord(σ) = 6, ord(τ) = 2 e τ ∘ σ = σ^{5} ∘ t (ambos são

iguais a (\binom{α_{1}α_{2}α_{3}}{α_{1}α_{3}α_{2}}, i → −i)). Pela teoria de grupos gerados por dois elementos (ver [2], p. 114), Gal(\overline{K}_{1}) e Gal(\overline{K}_{2}) são isomorfos (na verdade isomorfos a S_{3} × Z_{2} = ⟨σ_{1}/, σ_{2}⟩ onde σ_{1} = (\binom{123}{231}, \overline{1}) e σ_{2} = (\binom{123}{213}, \overline{0}) satisfazem ord(σ_{1}) = 6, ord(σ_{2}) = 2 e σ_{2}σ_{1} = σ_{1}^{5}σ_{2}). □

Exemplo III.2: Veremos agora que não há outras restrições sobre os fatores do grau de uma extensão normal solúvel por radicais reais além da que dá o Teorema I.2. De fato, se q_{1}, q_{2}, …, q_{n} são iguais a 2 ou a primos de Fermat (não necessariamente distintos), e p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3}, …, p_{n} são os primeiros números primos então Q( \sqrt[q_{1}]{p_{1}}, \sqrt[q_{2}]{p_{2}}, …, \sqrt[qn]{p_{n}}, ξ_{q_{1}}, ξ_{q_{2}}, …, ξ_{q_{n}}) onde ξ_{q_{i}} = e^{2πi/q_{i}} é uma extensão normal cujo grau é múltiplo de q_{1}q_{2} … q_{n} (é o fecho normal de Q( \sqrt[q_{1}]{p_{1}} …, \sqrt[qn]{p_{n}}) =: L, que satisfaz [L : Q] = q_{1}q_{2}, …, q_{n}). Essa extensão é solúvel por radicais reais, pois é gerada por elementos solúveis por radicais reais.

Obs.. Provaremos que efetivamente [L : Q] = q_{1}q_{2}·. . .·q_{n}: Sejam L_{0} = Q, L_{i} = L_{i−1}( \sqrt[q_{i}]{p_{i}}), 1 ≤ i ≤ n (e portanto L_{n} = L). Basta provar que [L_{i+1} : L_{i}] = q_{i}, ou que P_{\sqrt[q_{i}]{p_{i}}|L_{i−1}} = X^{q_{i}} −p_{i}. Para isso basta provar que \sqrt[q_{i}]{p_{i}} ∉ L_{i−1}, para 1 ≤ i ≤ n (veja [1], p. 125). Se não, seja k o menor índice tal que existe \sqrt[q_{k}]{p_{k}} ∈ L_{k−1}. Seja j o menor índice tal que existam r_{1}, r_{2}, …, r_{k−1} ∈ Z com \sqrt[q_{k}]{p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}} … p_{k−1}^{r_{k}−1}p_{k}} ∈ L_{j} (temos então j ≤ k −1). Não podemos

ter q_{j} ≠ q_{k}, senão x = \sqrt[q_{k}]{p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}} … p_{k−1}^{r_{k−1}}p_{k}} é tal que x ∉ L_{j−1} ⇒ [L_{j−1}(x) : L_{j−1}] = q_{k}, mas L_{j−1}(x) ⊂ L_{j}, e [L_{j} : L_{j−1}] = q_{j} ⇒ q_{k}|q_{j} ⇒ q_{k} = q_{j} =: q. Nesse caso temos x ∈ L_{j−1}(\sqrt[q]{p_{j}}) ⇒ existem α_{ℓ}, α_{ℓ+1}, …, α_{q−1} com α_{ℓ} ≠ 0 (ℓ ≥ 0) tais que X = α_{ℓ} \sqrt[q]{p_{j}}^{ℓ} + α_{ℓ+1} \sqrt[q]{p_{j}}^{ℓ+1} + ⋯ + α_{q−1} \sqrt[q]{p_{j}}^{q−1} ⇒ y = x · \sqrt[q]{p_{j}}^{−ℓ} = α_{ℓ} + α_{ℓ+1} \sqrt[q]{p_{j}} + ⋯ + α_{q−1} \sqrt[q]{p_{j}}^{q−ℓ−1} é tal que y^{q} ∈ Q ⊂ L_{j−1} e T r_{L_{j}|L_{j−1}}(y) = q · α_{ℓ} ≠ 0 ⇒ y ∈ L_{j−1} (para provarmos isso, observemos que se y ∉ L_{j−1}, como y^{q} ∈ L_{j−1} teríamos P_{y|L_{j−1}} = X^{q} − y^{q}, donde T r_{L_{j}|L_{j−1}}(y) = 0). Por outro lado, y ∈ L_{j−1} contradiria a minimalidade de j, absurdo. □

Referências:

[1] Endler, Otto, ‘Teoria dos Corpos’, Monografias de Matemática nō 44, IMPA.

[2] Garcia, Arnaldo e Lequain, Yves, ‘Álgebra, um curso de introdução’, Projeto Euclides, IMPA, 1988.

[3] Moreira, Carlos Gustavo, ‘Um teorema sobre solubilidade de equações polinomiais por radicais reais’, Revista Matemática Universitária nō 12, 1990.

[4] Tschebotaröw, N. e Schwerdtfeger, H., ‘Grundzüge der Galois’ chen Theorie’, P. Noordhoff, N.V., 1950.