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\begin{document}

{\large

\centerline{\Large\bf Propriedades estatísticas de frações contínuas}
\centerline{\Large\bf e aproximações diofantinas: O Teorema de Khintchine}

\vskip .5in

\centerline{\sc Carlos Gustavo Moreira}

\medskip

\centerline{IMPA}
\centerline{\sl Estrada Dona Castorina 110}
\centerline{\sl Jardim Botânico}
\centerline{\sl 22460-320 Rio de Janeiro-RJ}
\centerline{\sl e-mail: gugu@impa.br}

\vskip 1in

\noindent
{\large\bf Introdução:} O problema básico da teoria de aproximações diofantinas é o de estudar boas aproximações de números reais por números racionais. Uma extensão natural desse problema é o estudo de aproximações simultâneas de $n$ números reais por números racionais com o mesmo denominador.

Dado um número irracional $\al$, um resultado clássico de Dirichlet afirma que existem infinitos racionais $\frac pq$ tais que $|\al-\frac pq|<\frac 1{q^2}$ (a prova não é difícil: dado $N\in\na$, consideramos os $N+1$ elementos de $[0,1)$ da forma $j\al-\lfloor j\al \rfloor$, com $0\le j\le N$. Como $[0,1)=\bigcup_{k=0}^{N-1} \left[ \frac kN, \frac{k+1}N \right)$, existem dois desses elementos, digamos $j_1\al-\lfloor j_1\al \rfloor$ e $j_2\al-\lfloor j_2\al\rfloor$ num mesmo intervalo $\left\lfloor \frac kN,\frac{k+1}N \right)$, e portanto, se $j_1<j_2$, $q=j_2-j_1$ e $p=\lfloor j_2\al \rfloor- \lfloor j_1\al\rfloor$, temos $0<|q\al-p|<\frac 1N\Rightarrow |\al-\frac pq|<\frac 1{qN}\le \frac 1{q^2})$. Hurwitz e Markov provaram que de fato $|\al-\frac pq|<\frac 1{\sqrt 5 q^2}$ tem infinitas soluções $\frac pq\in\Q$, para todo irracional $\al$, e que $\sqrt 5$ é a maior constante com essa propriedade. Markov ([Ma]) provou que, para todo $c<3$, o conjunto dos $\al\in\re$ tais que $|\al-\frac pq|<\frac 1{cq^2}$ tem apenas um número finito de soluções $\frac pq\in\Q$ é enumerável, mas o conjunto dos $\al\in\re$ tais que $|\al-\frac pq|<\frac1{3q^2}$ tem apenas um número finito de soluções tem o mesmo cardinal que $\re$.

Neste artigo, vamos estudar desigualdades do tipo 
$$
 |\al-\frac pq|<\frac{f(q)}q, \eqno{(1)}
$$
 onde $f\colon\na\to\re^+$ é uma função decrescente, do ponto de vista da teoria da medida. Vamos provar o teorema de Khintchine, segundo o qual, se $\sum_{q=1}^\infty f(q)=+\infty$ então (1) tem infinitas soluções $\frac pq\in\Q$, para quase todo $\al\in\re$, mas se $\sum_{q=1}^\infty f(q)<+\infty$ então (1) tem apenas um número finito de soluções $\frac pq\in \Q$, para quase todo $\al\in\re$.

Note que do ponto de vista topológico a situação é diferente: qualquer que seja a função positiva $f$, (1) tem infinitas soluções $\frac pq\in\Q$ para $\al\in R_f$, onde $R_f$ é um conjunto residual, i.e. contém (de fato é) uma interseção enumerável de abertos densos.

A principal técnica usada para estudar aproximações de números reais por números racionais são as frações contínuas, que fornecem todas as boas a\-pro\-xi\-ma\-ções de um irracional $\al$ por racionais. As definições e provas dos resultados a seguir sobre frações contínuas podem ser encontradas em [Mo].

Dado $\al\in\re$, definimos $\al_0=\al$, $a_n=\lfloor \al_n\rfloor$ e, se $\al_n\notin\Z$, $\al_{n+1}=\frac1{\al_n-a_n}$, para todo $n\in\na$. Para cada $n\in\na$ tomamos $p_n\in\Z$ e $q_n\in\na^*$ primos entre si tais que
$$
\frac{p_n}{q_n}=[a_0; a_1,a_2,\dots,a_n]:= a_0+ \frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+{}_{\ddots{}_{+\frac{1}{a_n}}}}}.
$$
Temos
$$
\frac{1}{(a_{n+1}+2)q_n^2} < |\al-\frac{p_n}{q_n}| < \frac 1{a_{n+1}q_n^2} \le \frac 1{q_n^2},\quad \text{ para todo } n\in\na.
$$
As seqüências $p_n$ e $q_n$ satisfazem $p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}=(-1)^n$, $\forall\, n\ge0$. Se $|\al-\frac pq|<\frac1{2q^2}$ então $\frac pq=\frac{p_n}{q_n}$, para algum $n\in\na$. Por outro lado, para todo $n\in\na$ vale $|\al-\frac{p_n}{q_n}|<\frac1{2q_n^2}$ ou $|\al-\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}|<
\frac1{2q_{n+1}^2}$. 

Temos
$$
p_{n+2}=a_{n+2}p_{n+1}+p_n,\,\, q_{n+2}=a_{n+2}q_{n+1}+q_n\text{ e }
\al=\frac{\al_{n+1}p_n+p_{n-1}}{\al_{n+1}q_n+q_{n-1}},\,\text{ para todo } n\in\na.
$$

A prova que apresentaremos na Seção 1, baseada no estudo de propriedades estatísticas de frações contínuas, é inspirada em conversas que tive há uns 9 anos com o Prof. Nicolau Corção Saldanha sobre o tema.

O problema básico de aproximações simultâneas é o seguinte: dado \linebreak $\al_1,\al_2,\dots,\al_n\in\re$ queremos encontrar números racionais $\frac{p_1}q,\frac{p_2}q,\dots,\frac{p_n}q$ tais que $|\al_j-\frac{p_j}q|$ seja pequeno para todo $j\le n$. Em geral sempre é possível encontrar racionais tais que $|\al_j-\frac{p_j}q|<\frac1{q^{1+1/n}}$, o que estende o teorema de Dirichlet e pode ser provado de modo análogo: dado $N\in\na$ consideramos os $N^n+1$ pontos
$$
p_j=(\al_1j-\lfloor\al_1  j\rfloor, \al_2 j-\lfloor \al_2 j\rfloor,\dots,\al_n j-\lfloor \al_n j\rfloor),\quad 0\le j\le N^n
$$
 no hipercubo $[0,1)^n$. Dividimos $[0,1)^n$ como $\left(\bigcup_{k=0}^{N-1} \left[ \frac kN, \frac{k+1}N \right) \right)^n$ em $N^n$ cubos de lado $\frac 1N$. Haverá necessariamente dois pontos $p_{j_1}$ e $p_{j_2}$ num mesmo cubo dessa decomposição,  e, se $j_1<j_2$, $q=j_2-j_1$, $p_j=\lfloor j_2\al_j\rfloor-\lfloor j_1 \al_j\rfloor$, teremos $|\al_j-\frac{p_j}{q_j}|  <  \frac1{Nq_j} \le \frac 1{q_j^{1+1/n}}$, para todo $j\le n$.

Infelizmente não há um substituto satisfatório para a teoria de frações contínuas em dimensão maior que um, mas é possível provar uma versão $n$-dimensional do Teorema de Khinchine (provada originalmente em [K]), o que faremos na Seção 2.

Para maiores informações sobre aproximações diofantinas, veja [C1] e [S].


\vskip .3in

\noindent
{\Large \bf Seção 1: O Teorema de Khintchine via frações contínuas}

\bigskip

\noindent
{\sc Teorema} (Khintchine): {\it Seja $f\colon\na\to\re^+$ uma função decrescente tal que $h(n)=nf(n)\colon \na\to\re^+$ também seja decrescente. 

\begin{itemize}

\item[a)] Se\,\, $\sum_{n=1}^\infty f(n)<+\infty$ então a equação $|\al-\frac pq|<\frac{f(q)}q$ tem apenas um número finito de soluções racionais $p/q$, para quase todo $\al\in\re/\Q$

\item[b)] Se\,\, $\sum_{n=1}^\infty f(n)=+\infty$ então a equação $|\al-\frac pq|<\frac{f(q)}q$ tem um número infinito de soluções racionais $p/q$, para quase todo $\al\in\re/\Q$.
\end{itemize}
}

\medskip

\noindent
{\sc Observação:} A condição de $nf(n)$ ser decrescente não é de fato necessária, como veremos na seção 2, mas simplifica a prova. Por outro lado, não podemos retirar a hipótese de $f$ ser decrescente (veja [C2]).

\bigskip

\noindent
{\sc Demonstração:}

\noindent
{\sc Lema 1:} {\it Sejam $n,k\in\na$, e seja $[0,a_1,a_2,\dots]$ a fração contínua de um número $\al\in[0,1]$. A probabilidade de um termo $a_{n+1}$ ser igual a $k$ dado que $a_1=k_1$, $a_2=k_2,\dots,a_n=k_n$ está entre $1/(k+1)(k+2)$ e $2/k(k+1)$, $\forall\,\, k_1,k_2,\dots,k_n\in\na^*$.\/}

\bigskip

\noindent
{\sc Prova:} Sejam $p_{n-1}/q_{n-1}=[0;a_1,a_2,\dots,a_{n-1}]$ e $p_n/q_n=[0; a_1,a_2,\dots,a_{n-1},a_n]$. Se $\al\in[0,1]$, $\al=[0;a_1,a_2,\dots,a_n,\al_{n+1}]$, $\al_{n+1}\in[1,+\infty)$ então $\al\in \left[ \frac{p_n+p_{n-1}}{q_n+q_{n-1}}, \frac{p_n}{q_n} \right)$, e, se além disso $a_{n+1}=k$, temos $\al\in \left[ \frac{kp_n+p_{n-1}}{kq_n+q_{n-1}}, \frac{(k+1)p_n+p_{n-1}}{(k+1)q_n+q_{n-1}} \right]$, e valem as recíprocas (as ordens dos extremos dos intervalos podem estar trocadas). Os comprimentos dos referidos intervalos são, respectivamente, $\frac1{q_n(q_n+q_{n-1})}$ e \linebreak
$\frac1{(kq_n+q_{n-1})((k+1)q_n+q_{n-1})}$ (pois $|p_n q_{n-1}-p_{n-1}q_n|=1)$, e portanto a razão entre seus comprimentos é $\frac{q_n(q_n+q_{n-1})}{(kq_n+q_{n-1})((k+1) q_n+q_{n-1})} =
\frac{1+\be}{(k+\be)(k+1+\be)}$, onde $\be=q_{n-1}/q_n\in [0,1]$. Portanto, a razão pertence a $[1/(k+1)(k+2), 2/k(k+1)]$. \qed

\bigskip

\noindent
{\sc Corolário:} A probabilidade de $a_{n+1}\ge k$, nos termos do Lema acima, pertence a  $[1/(k+1), 2/k]$.

\bigskip

\noindent
{\sc Lema 2:} {\it Para quase todo $\al\in\re$ existe $c\in\re$ tal que $q_n\le c^n$, para todo $n\in\na$\/}.

\bigskip

Antes de provar o Lema 2 vamos mostrar como termina a prova do Teorema de Khintchine. Suponhamos que $\Sigma f(n)<\infty$. Seja $\ga=\frac{1+\sqrt 5}2$. Se a aproximação $p_n/q_n$ de $\al$ é tal que $|\al-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{f(q_n)}{q_n}$ então $a_{n+1}+2> \frac1{q_n f(q_n)} > \frac1{\ga^{n-1} f(\ga^{n-1})}$ (pois para todo $\al\in \re\setminus \Q$ vale $q_n>\ga^{n-1}$, $\forall\, n\in\na$). $\Rightarrow a_{n+1}>  \frac1{\ga^{n-1}f(\ga^{n+1})}-2$. A probabilidade de $a_{n+1}\le \frac1{\ga^{n-1}f(\ga^{n-1})} -2 =: A(n)$ é pelo menos $1- \frac2{A(n)}$, $\forall \, n \in\na$ (pelo corolário do Lema 1), e a hipótese de $\sum_{n=1}^\infty f(n)<\infty$ implica que $\sum_{n=1}^\infty \frac2{A(n)}<\infty$, por comparação com 
$$
\sum_{k=1}^\infty \ga^k f(\ga^k)<
\frac\ga{\ga-1} \sum_{k=0}^\infty (\ga^{k+1}-\ga^k)f(\ga^{k+1})<\sum_{n=1}^\infty f(n)<+\infty.
$$ 

Temos portanto $\prod_{n=1}^\infty(1-\frac2{A(n)})>0\Rightarrow$ para cada $\ve>0$
existe $n_0\in\na$ tal que $\prod_{n=n_0}^\infty(1-\frac2{A_n})>1-\ve$, donde com probabilidade total $a_{n+1}\le A(n)$ para todo $n$ suficientemente grande $\Rightarrow$ $|\al-\frac pq|<\frac{f(q)}q$ tem apenas um número finito de soluções.

Suponhamos agora que $\Sigma f(n)=+\infty$, fixemos $c>0$ e vamos nos restringir ao conjunto $X_c$ dos $\al\in[0,1]$ tais que $q_n<c^n$ para todo $n\in\na$ (a união dos conjuntos $X_c$ para todo $c\in\na$ tem probabilidade total em $[0,1]$,  pelo Lema 2).

Se $a_{n+1}>\frac1{q_nf(q_n)}$ teremos $|\al-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{f(q_n)}{q_n}$. Como $q_n<c^n$, $\frac 1{q_n f(q_n)}<\frac 1{c^nf(c^n)}$. Vamos mostrar que com probabilidade total temos $a_{n+1}\ge\frac1{c^nf(c^n)}$ para infinitos valores de $n\in\na$. Isso segue de $\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac1{B(n)+1} \right)=0$, onde $B(n)=\frac1{c^n f(c^n)}$, que por sua vez segue de $\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n) \ge c^{-1} \sum_{n=1}^\infty (c^{n+1}-c^n)f(c^n)=+\infty$. Portanto, para todo $n_0\in\na$ temos $\prod_{n=n_0}^\infty \left(1-\frac1{B(n)+1}\right)=0$, e, com probabilidade total, existe $n\ge n_0$ com $a_{n+1}\ge \frac1{c^nf(c^n)}$, donde a equação $|\al-\frac{p_n}{q_n}|< \frac{f(q_n)}{q_n}$ é satisfeita com probabilidade total para infinitos valores de $n\in\na$. \qed

\bigskip

\noindent
{\sc Prova do Lema 2:} Sejam $n,k\in\na$. A probabilidade de que $k$ apareça pelo menos $4n/k(k+1)$ vezes entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ é limitada por \linebreak
$\sum_{j=sn}^n C_n^j(\frac s2)^j(1-\frac s2)^{n-j}$, onde $s=\frac4{k(k+1)}$, que é menor que $(\frac34)^{\frac n{k(k+1)}}$ para $\frac n{k(k+1)}$ grande (de fato,
$\frac{C_n^{j+1}(\frac s2)^{j+1}(1-\frac s2)^{n-j-1}}{C_n^j(\frac s2)^j(1-\frac s2)^{n-j}}= \frac{n-j}{j+1}\cdot \frac s{2-s} < \frac{4-3s}{3s}\cdot \frac s{2-s}=\frac{4-3s}{6-3s} < \frac 23$, se $j\ge\frac{3sn}4$, logo, como $\sum_{j=0}^n C_n^j (\frac s2)^j (1-\frac s2)^{n-j}=1$, para $j=\frac{3sn}4$, $C_n^j(\frac s2)^j(1-\frac s2)^{n-j}\le 1$, donde $C_n^{sn}(\frac s2)^{sn}(1-\frac s2)^{(1-s)n}\le (\frac23)^{sn/4}$ e $\sum_{j=sn}^n C_n^j(\frac s2)^j(1-\frac s2)^{n-j}\le (\frac 23)^{sn/4}\sum_{k=0}^\infty (\frac 23)^k=3 (\frac 23)^{sn/4}= 3 (\frac 23)^{n/k(k+1)}< (\frac 34)^{n/k(k+1)}$, se $n/k(k+1)$ é suficientemente grande).
 A probabilidade disso acontecer pra algum $k<[ \sqrt[\uproot{2} 3]{n}]$ é no máximo $\sqrt[\uproot{2} 3]{n}  \cdot (\frac34)^{\sqrt[\uproot{2} 3]{n}}$, que converge a zero quando $n\to+\infty$. Por outro lado, com probabilidade total, $a_n<n^2 $ para todo $n$ suficientemente grande $\Rightarrow q_n<\prod_{k=1}^n(a_k+1)<\left( \prod_{r=1}^{\sqrt[\uproot{2} 3]{n}} (r+1) ^{\frac{4n}{r(r+1)}} \right) \cdot (n^2)^{4n/ \sqrt[\uproot{2} 3]{n}}$ com probabilidade total para todo $n$ grande, pois também com probabilidade total o número de termos maiores ou iguais a $\sqrt[\uproot{2} 3]{n}$ entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ é no máximo $4n/\sqrt[\uproot{2} 3]{n}$, para $n$ suficientemente grande. 

Como $\lim\limits_{n\to\infty} 8\log n/\sqrt[\uproot{2} 3]{n}=0$, temos com probabilidade total $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[\uproot{2} n]{q_n} \le \exp \left( \sum_{r=1}^\infty \frac{4\log(r+1)}{r(r+1)} \right)< +\infty$. \qed

\bigskip

\noindent
{\sc Observação:} Pode-se provar com métodos de teoria ergódica que para quase todo $\al\in\re$ vale
$$
\lim_{n\to\infty }\sqrt[\uproot{2} n]{q_n} = e^{\pi^2/12\,ln\, 2} \simeq 3,2758229\dots
$$
Pretendemos discutir este e outros resultados finos ligados a propriedade estatísticas de frações contínuas num próximo artigo.

\bigskip

\noindent
{\sc Corolários do Teorema de Khintchine:}

\begin{itemize}

\item[i)] Para quase todo $\al\in\re$, $|\al-\frac pq|<\frac1{q^2\log^2q}$ tem
apenas um número finito de soluções $\frac pq\in\Q$, e portanto
 $|\al-\frac pq|<\frac1{q^{2+\ve}}$ tem apenas um número finito de soluções racionais $\frac pq$, para todo $\ve>0$. Em particular $\text{ord } \al=2$ para quase todo $\al\in\re$ (onde $\text{ord }\al:=\inf\{\nu>0 | |\al-\frac pq | < \frac 1{q^\nu}$ tem infinitas soluções $\frac pq\in\Q\}$).

\item[ii)] Para quase todo $\al\in\re$, $|\al-\frac pq|<\frac1{q^2\log q}$ tem infinitas soluções racionais $p/q$, e portanto, para todo $k\in\re$, $|\al-\frac pq|<\frac 1{kq^2}$ tem infinitas soluções $\frac pq\in \Q$.

\end{itemize}

\vskip .3in

\noindent
{\Large\bf Seção 2: O Teorema de Khintchine $n$-dimensional.}

\bigskip

\noindent
{\sc Teorema:} Sejam $f_1,f_2,\dots,f_n\colon\na\to\re^+$ funções decrescentes e $F\colon\na\to\re^+$ dada por $F(k)=f_1(k)f_2(k)\dots f_n(k)$. Seja $\al=(\al_1,\dots,\al_2,\dots,\al_n)\in\re^n$. O sistema de aproximação simultâneas
$$
|\al-\frac{p_i}q|<\frac{f_i(q)}q,\quad 1\le i\le n\text{ é tal que } \eqno{(*)}
$$

\begin{itemize}

\item[a)] Se $\sum_{q=1}^\infty F(q)<+\infty$ então (*) tem apenas um número finito de soluções $\left(\frac{p_1}q, \frac{p_2}q,\dots,\frac{p_n}q\right)\in\Q^n$, para quase todo $\al\in\re^n$

\item[b)] Se $\sum_{q=1}^\infty F(q)=+\infty$ então (*) tem infinitas soluções $\left( \frac{p_1}q,\dots,\frac{p_n}q \right) \in \Q^n$ para quase todo $\al\in\re^n$.

\end{itemize}

\bigskip

\noindent
{\sc Demonstração:} 

\noindent
{\bf Prova de a):} Dado $q_0\in\na$, consideremos o conjunto
$$
S(q_0)=\bigcup_{q\ge q_0} \bigcup_{0\le p_1,\dots,p_n<q} \prod_{i=1}^n \left( \frac{p_i}q - \frac{f_i(q)}q, \frac{p_i}q+ \frac{f_i(q)}q \right),
$$
que é o conjunto dos $\al\in [0,1)^n$ tais que a desigualdade (*) do enunciado do Teorema tem alguma solução com $q\ge q_0$ (e logo $\bigcap_{q_0\in\na}S(q_0)$ é o conjunto dos $\al\in\re^n$ tais que (*) tem infinitas soluções $(\frac{p_i}q,\dots,\frac{p_n}q) \in \Q^n$). Temos $m(S(q_0))\le \sum_{q=q_0}^\infty q^n (\frac{2^n F(q)}{q^n})=2^n \sum_{q=q_0}^\infty F(q)$, que tende a $0$ quando $q$ tende a $\infty$, pois $\sum_{q=1}^\infty F(q)$ converge. Portanto, $m(\bigcap_{q_0\in\na}S(q_0))=0$.

\bigskip

\noindent
{\bf Prova de b):} Primeiro obtemos funções decrescentes $g_1,g_2,\dots,g_n\colon\na\to\re^+$ tais que $\lim\limits_{q\to s_0}\frac{g_i(q)}{f_i(q)}=0$ e $G=g_1,g_2,\dots,g_n\colon\na\to\re^+$ satisfaz $\lim\limits_{q\to\infty} q G(q)=0$ e $\sum_{q=1}^\infty G(q)=+\infty$ (podemos tomar $G_1(k)=(F(1)+F(2)+\dots+F(k))^{-1}\cdot F(k)$ e $G(k)=(G_1(1)+G_1(2)+\dots+G_1(k))^{-1}G_1(k)$, $\forall\, k\in\na$. Teremos $G_1$ e $G$ decrescentes, $G_1(k)\le 1/k$, $kG(k)\to0$, 
$\Sigma G_1(k)=\infty$, $\Sigma G(k)=\infty$, e definimos $g_i(q)=f_i(q)\cdot(G(q)/F(q))^{1/n})$.

Fixemos agora $q_0\in\na$ grande e definimos $s_0=s_0(q_0)=\min\{s\in\na | G(q_0)+G(q_0+1)+\dots+G(s)\ge \tilde c\}$, onde $\tilde c$ é uma constante que escolheremos posteriormente. Note que $\lim_{q\to\infty} \frac{s_0(q)}q=+\infty$.

Para cada $s$ com $q_0\le s\le s_0$ vamos estimar o número de $\left( \frac{r_1}s, \frac{r_2}s,\dots,\frac{r_n}s\right) \in \Q^n$ com $r_i\in\Z$, $1\le i\le n$, $0\le r_i<s$ tais que existem $q$ com $q_0\le q<s$, $p_1,p_2,\dots,p_n\in\Z$, $0\le p_i<q$ satisfazendo
$$
|\frac{r_i}s-\frac{p_i}q|<\frac{g_i(q)}q+\frac{g_i(s)}s,\quad \forall\,\, i=1,2,\dots,n.\eqno{(**)}
$$
Temos que, como cada $g_i$ é decrescente, (**) implica 
$$
|r_iq-p_is|<2qs\frac{g_i(q)}q=2sg_i(q),\quad i=1,2,\dots,n.
$$
Para um tal  $\left(\frac{r_1}{s},\dots,\frac{r_n}s\right)$ que não satisfaz (**) para nenhum $q$ com $q_0\le q<s$, $p_1,\dots,p_n$ o bloco $\prod_{i=1}^n\left(\frac{r_i}s-\frac{g_i(s)}s, \frac{r_i}s+\frac{g_i(s)}s \right)$ será disjunto de todos os blocos associados a $\left(\frac{p_1}q,\dots,\frac{p_n}q\right)$, $\forall\, q$ com $q_0\le q<s$, $\forall\, p_1,\dots,p_n\in\Z$ com $0\le p_i<q$.

\bigskip

\noindent
{\sc Lema:} Para todo $k\in\na$ existe $c_k>0$ tal que $\sum_{j=1}^n\left(\frac{\vr(j)}j \right)^k\ge c_k n$.

\bigskip

\noindent
{\sc Prova:} Para $k=1$ segue de $\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1n \sum_{j=1}^n \frac{\vr(j)}j=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n \sum_{q=1}^n \sum_{d|q} \frac{\mu(d)}d =\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1n \sum_{d=1}^n \lceil \frac nd \rceil \frac{\mu(d)}d= \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^2} = \frac{6}{\pi^2}$, pois $\sum_{r=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m^2} \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}=$ \linebreak $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sum_{m|n}\mu(m)}{n^2}=1$, e $\sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}=\frac{\pi^2}6$. Como $h(x)=x^k$ é convexa para $k\ge1$, temos
$\frac1n\sum_{j=1}^n \left(\frac{\vr(j)}j \right)^k \ge \left(\frac 1n\sum_{j=1}^n \frac{\vr(j)}j \right)^k$, donde segue o resultado (com $C_k=\left(\frac6{\pi^2}\right)^k$). \qed

Se $q_0\le q<s$, estimamos o número de soluções de $|r_iq-p_is|<2sg_i(q)$ com $0\le p_i<q$, $0\le r_i<s$ por $4sg_i(q)$ desde que $\text{mdc}(r_i,s)=1$ (pois nessas condições $r_iq-p_is$ não se anula e assume cada valor no máximo uma vez). Portanto, o número de soluções da desigualdade acima para todo $i$ com  $1\le i\le n$ é no máximo $4^ns^n G(q)$. Por outro lado há $\vr(s)^n$ pontos $\left(\frac{r_i}{s},\dots,\frac{r_n}s \right)$, $0\le r_i<s$, $\text{mdc}(r_i,s)=1$, $1\le i \le n$. Isso nos dá a estimativa do número de novos blocos disjuntos dos anteriormente considerados que têm denominador $s$ de pelo menos $\vr(s)^n-4^ns^n \sum_{q=q_0}^{s-1}G(q)$, e para o volume da união dos blocos disjuntos adicionados até o denominador $s_0$ de pelo menos
\begin{align*}
\, & \sum_{s=q_0}^{s_0}(\vr(s)^n-4^ns^n\sum_{q=q_0}^{s-1}G(q)) \frac{2^nG(s)}{s^n}\\
& = 2^k \sum_{s=q_0}^{s_0} \left(\frac{\vr(s)}s \right)^n G(s)-8^n \sum_{s=q_0}^{s_0} \left(\sum_{q=q_0}^{s-1}G(q) \right)G(s).
\end{align*}
Por outro lado, com $s_0=\min\{s\ge q_o | \sum_{q=q_0}^s G(q)\ge\tilde c\}$, temos
\begin{align*}
\sum_{s=q_0}^{s_0} \left( \frac{\vr(s)}s \right)^nG(s) &= \sum_{s=q_0}^{s_0-1}(G(s)-G(s+1)) \sum_{j=q_0}^s \left(\frac{\vr(j)}j\right)^n +G(s_0) \sum_{j=q_0}^{s_0} \left(\frac{\vr(j)}j \right)^n \\
&\ge \sum_{s=q_0}^{s_0-1}(G(s)-G(s+1))(c_ns-q_0)+G(s_0)(c_ns_0-q_0) \\
&= c_n \sum_{s=q_0+1}^{s_0}G(s)-(1-c_n)q_0G(q_0) \\
&= c_n\tilde c+\ve_1 \quad\text{ onde $\ve_1\to0$ quando $q_0\to\infty$}
\end{align*}
(pois $\lim\limits_{q_0\to\infty} q_0G(q_0)=0)$.

Por outro lado, $8^n\sum_{s=q_0}^{s_0} \left(\sum_{q=q_0}^{s-1}G(q) \right)G(s) \le
8^n\tilde c\sum_{s=q_0}^{s_0}G(s)\le$ \linebreak $8^n \tilde c(\tilde c+\ve_2)$ onde $\ve_2=G(s_0)\to0$ quando $q_0\to\infty$. Assim, nosso volume é, pelo menos, $2^n(c_n\tilde c+\ve_1)-8^n\tilde c(\tilde c+\ve_2)$. Tomando $\tilde c=\frac{c_n}{4^{n+1}}$ temos que, se $q_0$ é suficientemente grande (e logo $\ve_1$ e $\ve_2$ suficientemente pequenos), o volume de $A(q_0)$ é pelo menos $c_n^2/2^{n+3}$, onde
$$
A(q_0)=\bigcup_{q\ge q_0} \bigcup_{0\le p_1,\dots,p_n<q} \prod_{i=1}^n \left( \frac{p_i}q - \frac{g_i(q)}q, \frac{p_i}q+ \frac{g_i(q)}q \right).
$$

Como $A(q)\supset A(q+1)$, $\forall\, q\in\na$, temos $m(A_\infty)\ge \frac1{15\cdot 2^n}>0$, onde $A_\infty=\bigcap_{q\in\na} A(q)$. Se $\be=(\be_1,\be_2,\dots,\be_n)\in A_\infty$, $|\be_i-\frac{p_i}q|<\frac{g_i(q)}q$, $i=1,2,\dots,n$ tem infinitas soluções $(\frac{p_1}q,\frac{p_1}q,\dots,\frac{p_n}q)\in\Q^n$. Como $m(A_\infty)>0$, dado $\ve>0$ existe cubo $Q=\prod_{i=1}^n [\frac{b_i}C,\frac{b_i+1}C]$, $C\in\na$, $b_i\in\Z$, $0\le b_i<C$ tal que $m(A_\infty\cap Q)\ge(1-\ve)m(Q)$. Se $T\colon\re^n\to\re^n$ é dada por $$
T(X_1,\dots,X_n)=(CX_1-b_1,CX_2-b_2,\dots,CX_n-b_n),
$$
 temos $T(Q)=[0,1]^n$ e $m(T(Q\cap A_\infty))\ge1-\ve$. Além disso, se $\al=(\al_1,\al_2,\dots,\al_n)\in T(Q\cap A_\infty)$, $\al=T(\be)$, $\be=(\be_1,\dots,\be_n)\in A_\infty\cap Q$, e portanto $|\be_i-\frac{p_i}q|<\frac{g_i(q)}q$, para todo $i=1,2,\dots,n$ tem infinitas soluções $(\frac{p_1}{q}, \frac{p_2}q,\dots,\frac{p_n}q)\in\Q^n$, donde $|\al_i-\frac{r_i}q|<\frac{Cg_i(q)}q$ (e logo $|\al_i-\frac{r_i}q|<\frac{f_i(q)}q$) tem infinitas soluções
$$
\left( \frac{r_1}q, \frac{r_2}q,\dots,\frac{r_n}q \right) = \left( \frac{Cp_1-b_1}q, \frac{Cp_1-b_2}q,\dots,\frac{Cp_n-b_n}q \right)\in \Q^n,
$$
e como $\ve>0$ pode ser feito arbitrariamente pequeno está provado o item b). \qed

\newpage

\noindent
{\Large\sc Apêndice:} Aproximações diofantinas não-homogêneas

\medskip

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{\sc Proposição 1:} Se $\al\in\re\setminus\Q$ então $X=\{m+n\al | m, n\in\Z\}$ é denso em $\re$.

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\noindent
{\sc Prova:} Dado $\ve>0$ existem $p,q$ inteiros com $>1/\ve$ tais que $|\al-\frac pq|<\frac1{q^2}\Rightarrow 0 <|q\al-p|<\frac 1q <\ve$. Dado $x\in\re$ existe $k\in\Z$ tal que $x$ está entre $k(q\al-p)$ e $(k+1)(q\al-p)$, donde $|x-k(q\al-p)|\le\ve$. Como $k(q\al-p)=-pk+qk\al\in X$, o resultado está provado. \qed

\bigskip

O próximo resultado, devido a Kronecker, estende a Proposição 1 para dimensão qualquer.

\medskip

\noindent
{\sc Proposição 2:} Seja $\al=(\al_1,\al_2,\dots,\al_n)\in\re^n$. Suponha que $1,\al_1,\dots,\al_n$ sejam linearmente inependentes sobre $\Q$ (isto é, $k+m_1\al_1+m_2\al_2+\dots+m_n\al_n=0$ com $k,m_1,\dots,m_n\in\Z$ implica $k=m_1=\dots=m_n=0)$. Então $X=\{k\al+m_1e_1+m_2e_2+\dots+m_n e_n | k, \, m_1,\dots,m_n\in\Z\}$ é denso em $\re^n$, onde $e_1=(1,0,\dots,0),\dots, e_n=(0,\dots,0,1)$ são os elementos da base canônica de $\re^n$.

\medskip

\noindent
{\sc Prova:} Seja $\ov X\subset\re^n$ o fecho de $X$, e $V\subset \ov X$ um subespaço vetorial maximal de $\re^n$ contido em $\ov X$. Suponhamos por absudo que $V\ne\re^n$. Seja $f$ um funcional linear não nulo de $\re^n$.

Seja $V^\perp$ o complemento ortogonal de $V$, e seja $\pi\colon \re^n\to V^\perp$ a projeção ortogonal sobre $V^\perp$. Para todo $x\in\ov X$, $\pi(x)\in\ov X$, pois $\pi(x)=x+(\pi(x)-x)$, $\pi(x)-x\in C\subset\ov X$ e $\ov X$ é invariante por adição (pois $X$ também é).

Seja $k=\dim V^\perp$. Escolhemos vetores $e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_k}$ tais que \linebreak $\pi(e_{i_1}), \pi(e_{i_2}),\dots,\pi(e_{i_k})$ geram $V^\perp$. Se fizermos $e_0=\al$, para todo $i=0,1,\dots,n$ escrevemos $\pi(e_i)=\sum_{j=1}^k \la_{ij}\pi(e_{i_j})$. Não podemos ter $\la_{i1}\in\Q$ para todo $i$, senão podemos definir um funcional linear $f$ da seguinte forma:
dado $x\in\re^n$ escrevemos $\pi(x)$ como $\sum_{j=1}^k\be_j\pi(e_{i_j})$, e tomamos $f(x)=\be_1$. Se $\la_{i1}=f(e_i)\in\Q$ para todo $i$, teríamos $\la_{01}=f(\al)=\sum_{i=1}^n\al_i f(e_i)=\sum_{i=1}^n \la_{i1}\al_i\in\Q$, contradizendo a hipótese da proposição.

Seja então $i_0$ tal que $\la_{i_01}\notin\Q$. Tomamos $\ga=(\la_{i_01},\dots,\la_{i_0k})\in\re^k$. Como observamos na introdução deste artigo, existem $x_n=q_n\ga-(p_{1n},p_{2n},\dots,p_{kn})\ne0$, com $q_n,p_{1n},\dots,p_{kn}\in\Z$ e $\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|\le\lim\limits_{n\to\infty}|q_n|^{-1/k}=0$, e portanto, se $w_n=q_n\pi(e_{i_0)}-\sum_{j=1}^kp_{jn}\pi(e_{i_j})$, $\lim\limits_{n\to\infty}w_n=0$ (e $w_n\ne0$, $\forall\, n$). Passando a uma subseqüência, se necessário, podemos supor que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{w_n}{|w_n|}=\tilde w\in S^{n-1}\cap V^\perp$. Para todo $t\in\re$, temos que $t\tilde w=\lim\limits_{n\to\infty} \lfloor \frac t{w_n} \rfloor w_n\in\ov X$, $\forall\, n\in\na$. Portanto, como $\ov X$ é invariante por adição, o subespaço $\tilde V=\{v+t\tilde w | v\in V,\,\, t\in\re\}$ é tal que $\tilde V\subset \ov X$ e $\tilde V$ contém propriamente $V$, absurdo. \qed

\bigskip

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{\sc Observação:} A hipótese da Proposição 2 é necessária, pois se existem inteiros $k,m_1,\dots,m_n$ não todos nulos tais que $k+m_1\al_1+\dots+m_n\al_n=0$ então $\ov X\subset\{(x_1,\dots,x_n)\in\re^n | m_1x_1+m_2x_2+\dots+m_nx_n\in\Z\}$, que é um fechado com interior vazio.

Deixamos para o leitor a prova do seguinte fato: Dado $\al=(\al_1,\dots,\al_n)\in\re^n$ satisfazendo a condição da Proposição 2, e $m\in\na$, definimos $\{m\al\}=(m\al_1-\lfloor m\al_1\rfloor,\dots,m\al_n-\lfloor m\al_n\rfloor)\in[0,1)^n$. A seqüência $\{m\al\}$ é uniformemente distribuida, isto é, para todo aberto $A\subset[0,1)^n$, se $f_A(k)=\#\{m\le k | \{m\al\}\in A\}$, então $\lim\limits_{k\to\infty}f_A(k)/k=m(A)$, onde $m(A)$ é a medida de Lebesgue de $A$. 
({\it Su\-ges\-tão\/}: sejam $C_1,C_2\subset[0,1)^n$ dois cubos abertos tais que $\ov C_2$ está contido em um transladado de $C_1$ $(\ov C_2\subset C_1+v,\,\, v\in\re^n)$. Use o fato de que existem vetores $\tilde v$ arbitrariamente próximos de $v$, com $\tilde v=(q\al_1+p_1,\dots,q\al_n+p_n)$, $q,p_1,\dots,p_n\in\Z$, e que $\{m\al\}\in C_2\Rightarrow\{(m-q)\al\}\in C_2-\tilde v\subset C_1$, se $\tilde v$ está suficientemente próximo de $v$, donde $f_{C_2}(k)\le f_{C_1}(k)+|q|\Rightarrow\limsup\limits_{k\to
\infty}f_{C_2}(k)/k\le \liminf\limits_{k\to\infty} f_{C_1}(k)/k)$.

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{\Large\bf Referências:}

\begin{itemize}

\item[{[C1]}] J.W.S. Cassels: {\it An introduction to diophantine approximation\/}, Cambridge Univ. Pres, 1957.

\item[{[C2]}] J.W.S. Cassels: {\it Some metrical theorems in Diophantine approximation I\/}, Proc. Camb. Phil. Soc. {\bf 46} (1950), 209--218.

\item[{[K]}] A. Khintchine: {\it Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen\/}, Math. Z. {\bf 24} (1926), 706--714.

\item[{[Ma]}] A. Markov: {\it Sur les formes quadratiques binaires indéfinies\/}, Math. Ann. {\bf 15} (1879), 381--406.

\item[{[Mo]}] C.G. Moreira: {\it Frações contínuas, representações de números e 
a\-pro\-xi\-ma\-ções\/}, Eureka {\bf 3} (1998), 44--55.

\item[{[S]}] W.M. Schmidt: {\it Diophantine approximations\/}, Lecture Notes in Mathematics {\bf 785}, Springer Verlag, 1980.

\end{itemize}
}
\end{document}