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\def\sen{\hbox{sen}}
\def\RR{{\bf R}}

\centerline{\bf A Desigualdade Isoperim\'etrica}
\smallskip
\centerline{\it Carlos Gustavo T. de A. Moreira}
\centerline{\it Nicolau Cor\c c\~ao Saldanha}
\smallskip

A desigualdade isoperim\'etrica afirma que qualquer curva fechada
de comprimento $\ell$ cerca uma \'area menor ou igual a
${\ell^2} \over {4\pi}$ e que este valor s\'o \'e atingido
se a curva for um c\'\i rculo de raio $\ell \over {2\pi}$.
Existem muitas demonstra\c c\~oes conhecidas deste fato.
Vamos aqui apresentar uma demonstra\c c\~ao simples 
e totalmente elementar deste teorema.
Vamos primeiro demonstrar um resultado an\'alogo para pol\'\i gonos:
dentre os pol\'\i gonos de $n$ lados com per\'\i metro fixo
o de maior \'area \'e o regular.
Depois veremos como a partir destes resultados
demonstrar a desigualdade isoperim\'etrica usual.

Vamos come\c car vendo dois resultados de geometria cl\'assica.

{\noindent \bf Afirma\c c\~ao 0:}
{\it Dentre todos os tri\^angulos $ABC$ de base $AB$ fixa
e per\'\i metro dado,
aquele de maior \'area \'e o is\'osceles.
Al\'em disso, dados dois tri\^angulos $ABC$ e $ABC'$
com mesmo per\'\i metro e
$|\overline{AC} - \overline{BC}| < |\overline{AC'} - \overline{BC'}|$,
a \'area de $ABC$ \'e maior que a \'area de $ABC'$.}

Esta afirma\c c\~ao \'e conseq\"u\^encia f\'acil da f\'ormula de Heron:
a \'area de um tri\^angulo de lados $a$, $b$ e $c$ \'e dada por
$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
onde $p = {1 \over 2}(a+b+c)$.

{\noindent \bf Afirma\c c\~ao 1:}
{\it Dentre todos os quadril\'ateros com lados dados,
aquele de maior \'area \'e o inscrit\'\i vel.
Mais ainda, se consideramos dois quadril\'ateros
$ABCD$ e $A'B'C'D'$ com lados correspondentes iguais,
se $|\hat A + \hat C - \pi| < |\hat{A'} + \hat{C'} - \pi|$
ent\~ao a \'area de $ABCD$ \'e maior que a \'area de $A'B'C'D'$.}

Estas afirma\c c\~oes seguem da f\'ormula abaixo:
a \'area $S$ de um quadril\'atero de lados $a = \overline{AB}$,
$b = \overline{BC}$, $c = \overline{CD}$
e $d = \overline{DA}$
e \^angulos $\hat A$, $\hat B$, $\hat C$ e $\hat D$ \'e dada por
$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - {1 \over 2}abcd(1 + \cos(\hat A+\hat C))},$$
onde $p = {1 \over 2}(a+b+c+d)$.
Esta f\'ormula pode ser obtida
elevando ao quadrado o valor de $S$ dado por
$S = {1 \over 2}ad\,\sen\hat A + {1 \over 2}bc\,\sen\hat C$
(este valor \'e obtido somando as \'areas de $DAB$ e $BCD$)
usando a identidade $a^2 + d^2 - 2ad\cos A = b^2 + c^2 - 2bc\cos C$
(os dois lados d\~ao o quadrado da diagonal $BD$ pela lei dos cossenos).

{\noindent \bf Afirma\c c\~ao 2:}
{\it Dado um pol\'\i gono n\~ao convexo,
temos outro pol\'\i gono com n\'umero de lados menor,
per\'\i metro menor e \'area maior.}

Para isto, queremos obter dois v\'ertices n\~ao consecutivos
tais que a reta determinada por eles tem o pol\'\i gono
inteiramente contido em um dos semi-planos por ela determinados.
Obteremos o novo pol\'\i gono
substituindo a parte interior da poligonal ligando estes dois pontos
pelo segmento que os liga (Fig. 1).

Para obter estes v\'ertices, considere no plano cartesiano
o v\'ertice de maior coordenada $x$,
chamemo-lo de $P_0$.
A reta vertical que passa por este ponto tem todo o pol\'\i gono de um lado.
Vamos girar esta reta no sentido anti-hor\'ario ao redor deste v\'ertice
at\'e encontrarmos o primeiro outro v\'ertice;
esta reta ainda tem todo o pol\'\i gono de um lado.
Se a intersec\c c\~ao desta reta com o pol\'\i gono n\~ao for um dos lados,
o v\'ertice inicial e o outro que estiver em cima da reta
(ou, caso exista mais de um, o mais distante do v\'ertice inicial)
ser\~ao os dois v\'ertices que buscamos.
Caso contr\'ario precisamos continuar nossa busca;
obtivemos um lado $P_0P_1$ {\it de convexidade} do pol\'\i gono,
i.e., um lado tal que o pol\'\i gono est\'a inteiramente contido
em um dos semi-planos determinados por sua reta suporte.
Prosseguimos girando esta reta suporte no sentido anti-hor\'ario
ao redor de $P_1$ at\'e encontrarmos um novo v\'ertice.
Novamente temos os dois casos acima
e se tivermos um novo lado de convexidade continuamos o processo.
Este processo ou deve parar (com o sucesso)
ou deve resultar em que voltemos at\'e $P_0$,
mas neste caso todos os lados seriam de convexidade
e o pol\'\i gono seria convexo,
contradizendo a hip\'otese.

Se repetirmos o processo descrito na afirma\c c\~ao 2
um n\'umero suficiente de vezes
chegaremos em um pol\'\i gono convexo
chamado o {\it fecho convexo}.
Nossa constru\c c\~ao garante que
o conjunto dos v\'ertices do fecho convexo
\'e um subconjunto do conjunto de v\'ertices do pol\'\i gono original.
Mais ainda, o fecho convexo tem n\'umero de lados menor,
per\'\i metro menor e \'area maior que o pol\'\i gono inicial.

{\noindent \bf Afirma\c c\~ao 3:}
{\it Dado qualquer pol\'\i gono n\~ao regular,
existe um pol\'\i gono regular com n\'umero de lados menor ou igual,
per\'\i metro menor ou igual, e \'area maior.}

Demonstramos isto por indu\c c\~ao sobre o n\'umero de lados.
Vamos descrever um processo para a partir de um pol\'\i gono qualquer
obter primeiramente um equil\'atero e depois um regular com o mesmo
n\'umero de lados que o inicial,
sempre aumentando a \'area a cada passo.
Adotaremos este processo enquanto o pol\'\i gono for convexo e
se em algum momento o pol\'\i gono for n\~ao convexo
a afirma\c c\~ao 2 nos fornece um pol\'\i gono com n\'umero de lados menor,
\'area maior e per\'\i metro menor,
o que conclui a demonstra\c c\~ao por hip\'otese de indu\c c\~ao.

Vamos tornar o pol\'\i gono equil\'atero fazendo
com que cada um de seus lados
seja igual \`a m\'edia $\ell$ de todos os lados do pol\'\i gono.
Suponha que tenhamos dois lados vizinhos $AB$ e $BC$,
um maior e outro menor que $\ell$.
Podemos, pela afirma\c c\~ao 0,
encontrar um ponto $B'$ para substituir $B$,
mantendo o per\'\i metro fixo e aumentando a \'area,
tornando $\overline{AB'}$ igual a $\ell$.
Caso n\~ao existam dois tais lados vizinhos
mas o pol\'\i gono n\~ao seja equil\'atero,
permutaremos os lados de tal forma a chegar nesta situa\c c\~ao.
De fato, dados dois lados vizinhos $AB$ e $BC$
podemos substituir $B$ por $B'$
de tal forma que $\overline{AB'} = \overline{BC}$,
$\overline{B'C} = \overline{AB}$;
escolhendo $B'$ do mesmo lado que $B$ em rela\c c\~ao \`a reta $AC$,
a \'area e o per\'\i metro ficam inalterados.
Ap\'os uma seq\"u\^encia finita apropriada de tais permuta\c c\~oes,
chegaremos na situa\c c\~ao descrita acima.
Assim aumentaremos o n\'umero de lados iguais a $\ell$
at\'e que o pol\'\i gono se torne equil\'atero,
sempre aumentando a \'area.

Vamos agora descrever um processo an\'alogo
para tornar o pol\'\i gono equi\^angulo e portanto regular,
sempre aumentando a \'area.
Vamos chamar os v\'ertices cujos \^angulos internos
s\~ao iguais ao \^angulo interno para o pol\'\i gono regular
de {\it bons} e os demais de {\it maus}.
Observe que n\~ao podemos ter menos de quatro \^angulos maus
a n\~ao ser que o pol\'\i gono seja regular.
De fato, suponha um pol\'\i gono $A_1A_2\ldots A_n$ 
com \'unicos v\'ertices
possivelmente maus $A_i$, $A_j$ e $A_k$.
Seja $B_1B_2\ldots B_n$ um pol\'\i gono regular de mesmo lado $\ell$.
Os pol\'\i gonos $A_iA_{i+1}\ldots A_j$ e $B_iB_{i+1}\ldots B_j$
s\~ao congruentes, tamb\'em
$A_jA_{j+1}\ldots A_j$ \'e congruente a $B_jB_{j+1}\ldots B_k$ e
$A_kA_{k+1}\ldots A_i$ \'e congruente a $B_kB_{k+1}\ldots B_i$;
al\'em disso, os tri\^angulos $A_iA_jA_k$ e $B_iB_jB_k$
s\~ao congruentes.
Tudo isto implica que $A_1A_2\ldots A_n$ \'e regular (Fig. 2).

Em um pol\'\i gono equil\'atero mas n\~ao regular
considere o conjunto dos v\'ertices maus.
Podemos tomar neste conjunto dois v\'ertices maus $A$ e $B$,
$A$ com \^angulo muito grande e $B$ com \^angulo muito pequeno,
consecutivos no conjunto dos v\'ertices maus.
Considere agora o quadril\'atero $ABCD$,
onde $C$ \'e consecutivo a $B$ no conjunto dos v\'ertices maus
assim como $A$ \'e consecutivo a $D$ no mesmo conjunto (Fig. 3).
Queremos deformar este quadril\'atero
no sentido de diminuir os \^angulos $A$ e $C$
e aumentar os \^angulos $B$ e $D$ at\'e $A$ ou $B$ tornar-se bom.
Ao deformar o quadril\'atero deformaremos simult\^aneamente o pol\'\i gono
mantendo r\'\i gidos os arcos entre dois v\'ertices consecutivos
do quadril\'atero.
Resta verificar que este processo aumenta a \'area do quadril\'atero
e portanto do pol\'\i gono:
para isso, usando a afirma\c c\~ao 1,
basta verificar que enquanto $A$ for grande e $B$ for pequeno
$A+C$ ser\'a maior que $\pi$.

Na figura 4, o c\'\i rculo indicado tem raio igual
ao do c\'\i rculo circunscrito ao pol\'\i gono regular de lado $\ell$.
Sejam $C'$ e $D'$ conforme indicado na figura
as intersec\c c\~oes de $CD$ com o c\'\i rculo.
Temos $\hat{BAD} > \hat{BAD'}$ e $\hat{BCD} > \hat{BC'D}$
donde $\hat{BAD} + \hat{BCD} > \hat{BAD'} + \hat{BC'D} = \pi$.
Isto mostra que sempre podemos aumentar o n\'umero de v\'ertices bons
at\'e chegarmos ao pol\'\i gono regular.
Isto conclui a demonstra\c c\~ao da afirma\c c\~ao 3.

Ali\'as, observe que o racioc\'\i nio usado na parte final
da demonstra\c c\~ao desta \'ultima afirma\c c\~ao
mostra que dentre todos os pol\'\i gonos com lados dados
o de maior \'area \'e o inscrit\'\i vel;
al\'em disso, a ordem dos lados n\~ao afeta a \'area m\'axima.
De fato, basta chamar de `bom' a um \^angulo igual
a seu correspondente no pol\'\i gono inscrit\'\i vel.
Devemos continuar o processo mesmo que isso envolva
pol\'\i gonos n\~ao convexos ou at\'e entrecruzados.
Para isso, \'e necess\'ario definir a \'area de um pol\'\i gono entrecruzado
de forma adequada:
a \'area que for cercada v\'arias vezes deve
ser contada com a multiplicidade do n\'umero de voltas
que a poligonal d\'a a seu redor
onde voltas no sentido anti-hor\'ario contam positivamente
e voltas no sentido hor\'ario contam negativamente.
Esta defini\c c\~ao coincide com a usual para pol\'\i gonos simples
percorridos no sentido anti-hor\'ario.
N\~ao consideramos este ponto de vista aqui exatamente para evitar
estas dificuldades t\'ecnicas.

{\noindent \bf Afirma\c c\~ao 4:}
{\it Se $n < m$ a \'area de um pol\'\i gono regular de $n$ lados
\'e menor que a \'area de um pol\'\i gono regular de $m$ lados
de mesmo per\'\i metro.
Al\'em disso, a \'area do c\'\i rculo \'e maior que
a \'area de qualquer pol\'\i gono regular de mesmo per\'\i metro.}

Vamos provar a primeira parte da afirma\c c\~ao por indu\c c\~ao sobre $m$.
Para isto basta provar, dado que a afirma\c c\~ao \'e correta
para $n < m \le m_0$, que a \'area de um pol\'\i gono regular
de $m_0 + 1$ lados \'e maior que a \'area de um pol\'\i gono regular 
de $m_0$ lados com o mesmo per\'\i metro.
Considere um pol\'\i gono regular de $m_0$ lados
e pense nele como um pol\'\i gono de $m_0 + 1$ lados,
sendo um dos lados igual a zero.
A afirma\c c\~ao 3 nos fornece,
se necess\'ario ap\'os uma expans\~ao,
um pol\'\i gono regular de per\'\i metro igual,
\'area maior e n\'umero de lados menor ou igual a $m_0 + 1$.
Observe que na primeira etapa da constru\c c\~ao
o lado de tamanho zero ser\'a tornado positivo.
Este n\'umero de lados s\'o pode ser igual a $m_0 + 1$
pois sen\~ao estar\'\i amos contradizendo a hip\'otese de indu\c c\~ao.

Para a segunda parte, devemos apenas observar que as \'areas
dos pol\'\i gonos de $n$ lados e per\'\i metro dado
tendem para a \'area do c\'irculo de mesmo per\'\i metro
quando $n$ cresce.
Isto segue do fato de que o pol\'\i gono regular de per\'\i metro $\ell$
tem lado maior que o do pol\'\i gono de mesmo tipo
inscrito no c\'\i rculo de circunfer\^encia $\ell$
e menor do que o do pol\'\i gono circunscrito a este c\'\i rculo.

{\noindent \bf Teorema: (Desigualdade Isoperim\'etrica)}
{\it Toda curva fechada de comprimento $\ell$ engloba uma \'area
menor ou igual a $\ell^2/{4\pi}$.
Al\'em disso, este valor s\'o \'e alcan\c cado
para o c\'\i rculo de raio $\ell/{2\pi}$.}

Suponha que temos uma curva de comprimento $\ell$ englobando uma \'area $A$.
Vamos escolher um n\'umero inteiro positivo $N$ e tomar $N$ pontos
ao longo da curva,
igualmente espa\c cados em termos do comprimento
do arco de curva entre eles.
Vamos ligar estes pontos por linhas retas para obter um pol\'\i gono
de $N$ lados e per\'\i metro menor que $\ell$.
Tomemos o fecho convexo deste pol\'\i gono:
seu per\'\i metro \'e menor que $\ell$ donde, pelas afirma\c c\~oes anteriores,
sua \'area $B$ \'e menor que $\ell^2/{4\pi}$.
Consideremos o conjunto dos pontos que ou est\~ao dentro deste fecho convexo
ou, estando fora dele, distam menos de $\ell/{2N}$
de algum dos $N$ pontos originais:
a curva original est\'a totalmente contida nesta regi\~ao
pois qualquer ponto da curva dista menos de $\ell/{2N}$ de algum
destes $N$ pontos.
Por outro lado, a \'area desta regi\~ao ser\'a menor ou igual a
$B + N\pi({\ell/{2N}})^2$
pois est\'a contida na uni\~ao do fecho convexo
com $N$ c\'\i rculos de raio $\ell/{2N}$ e centros nos $N$ pontos.
Assim, $A \le B + N\pi({\ell/{2N}})^2 \le
{{\ell^2}/{4\pi}} + {{\pi\ell^2}/{4N}}$,
e, como esta estimativa vale para qualquer $N$,
$A \le {{\ell^2}/{4\pi}}$.

Finalmente, consideremos uma curva de comprimento $\ell$
englobando \'area ${\ell^2}/{4\pi}$ e vamos provar
que ela \'e um c\'\i rculo.
Primeiro, observemos que ela \'e convexa.
De fato, para uma curva n\~ao convexa sempre existe um segmento de reta
ligando dois pontos da curva e contido inteiramente no exterior da mesma.
Este segmento divide a parte do plano fora da curva em duas regi\~oes,
uma limitada e a outra n\~ao.
Tomando a por\c c\~ao da curva que toca a regi\~ao ilimitada
mais o segmento de reta temos uma nova curva fechada
de per\'\i metro menor e \'area maior,
contradizendo o primeiro par\'agrafo (Fig. 5).
Agora, para uma curva convexa distinta do c\'\i rculo
tome quatro pontos n\~ao cocirculares.
Se deformarmos o quadril\'atero com estes quatro v\'ertices
mantendo r\'\i gidos os arcos de curva entre dois pontos
at\'e o quadril\'atero tornar-se inscrit\'\i vel
estaremos aumentando a \'area sem mudar o per\'\i metro (Fig. 6).

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