\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

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\newtheorem{prop}[thm]{\sc Proposition}

\theoremstyle{remark}
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\newtheorem{rem}{\sc Remark}
\newtheorem*{exem}{\sc Example}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}[thm]{\bf Defini\c c\~ao}
\newtheorem*{pf}{\sc Proof}
\newtheorem{obs}[thm]{\bf Observa\c c\~ao}

\numberwithin{equation}{section}

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\noindent
{\Large\bf De Nouvelles perspectives}

\noindent
{\Large\bf sur le Th\'eor\`eme de Morse-Sard}

\vskip .2in

\noindent
{\bf SEAN M. BATES et CARLOS G. MOREIRA}

\vskip .2in

\noindent
C.M.: IMPA, Estrada Dona Castorina 110, Jd. Bot\^anico, 22460-320, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.\,\, 
e-mail: gugu@impa.br

\vskip .1in

\noindent
S.B.: Emerging Markets Trading, Deutschebank, 1 Great Winchester Street, \newline
London EC2N 2DB.\,\, e-mail: sean.bates@db.com

\vskip .2in

\centerline{------------------------------------------------------------------------------------}
\vskip .1in

\noindent
{\bf R\'esum\'e.} Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ un espace vectoriel norm\'e, $k \ge 1$ un entier, $f\colon E \to F$ une application de classe $C^k$,\,\, $t > 0$ un r\'eel, et $A \subset E$ un ensemble born\'e et de $\mathcal H^t$-mesure finie, o\`u $\mathcal H^t$  est la mesure de Hausdorff en dimension $t$. Si la diff\'erentielle de $f$ en tout point de $A$ est de rang $\le r$, nous montrons que l'image $f(A)$ est de $\mathcal H^d$-mesure nulle, avec $d=r + \dfrac{t-r}{k}\,\cdot$ Lorsque de plus $D^kf$ satisfait une condition de H\"older d'exposant $\al \in (0,1]$,\,\, $f(A)$ est de $\mathcal H^{\tilde d}$-mesure finie, avec $\tilde d = r + \dfrac{t-r}{k+\al}\,\cdot$

Lorsque $E$ est un espace de Banach, les r\'esultats pr\'ec\'edents sont encore vrais si $k \le 2$. Par contre, nous pr\'esentons un polyn\^ome $P\colon \ell^2 \to \re$ dont l'ensemble critique est de $\mathcal H^3$-mesure finie et a pour image $[0,1]$.

\vskip .2in

\centerline{\bf Some new perspectives on Sard's Theorem}

\vskip .1in

\noindent
{\bf Abstract.} Let $E$ be a vector space of finite dimension, $F$ a normed vector space, $k \ge 1$ an integer, $f\colon E \to F$ a $C^k$ function, $t > 0$ a real number and $A \subset E$ a bounded subset with finite $\mathcal H^t$-measure, where $\mathcal H^t$ is the Hausdorff measure of dimension $t$. If the differential of $f$ in every point of $A$ has rank $\le r$, we show that the image $f(A)$ has zero $\mathcal H^d$-measure, where $d = r + \dfrac{t-r}{k}\,\cdot$ Moreover, if $D^kf$ satisfies a H\"older condition of exponent $\al \in (0,1]$, then $f(A)$ has finite $\mathcal H^{\tilde d}$-measure, where $\tilde d = r + \dfrac{t-r}{k+\al}\,\cdot$

If $E$ is a Banach space, then the preceding results are still true if $k \le 2$. On the other side, we present a polynomial function $P\colon \ell^2 \to \re$ for which the critical set has finite $\mathcal H^3$-measure, and whose image is $[0,1]$.

\vskip .1in

\centerline{------------------------------------------------------------------------------------}


\vskip .5in

\noindent
{\bf Abridged English Version}

\vskip .1in

The classical Morse-Sard theorem states that the critical value set of a $C^k$ mapping $f\colon \re^n \to \re^m$ has zero lebesgue measure in $\re^m$, provided that $k \ge \max\{n-m+1,1\}$. We shall give here the main ideas of the proof of the following generalizations of it:

Let $t > 0$ be a real number and $X$ a metric space. We recall that a subset $A \subset X$ is $t$-finite if $\mathcal{H}^t(A) < \infty$, where $\mathcal{H}^t$ is the Hausdorff measure of dimension $t$, that $A \subset X$ is $t$-null if $\mathcal{H}^t(A) = 0$, and that $A \subset X$ is $t$-rectifiable if $t$ is integer and $A$ is contained (mod. a $t$-null set) in a countable union of Lipschitz images of open sets of $\re^t$.

Let $E$ be a vector space of finite dimension, $F$ a normed vector space, $k \ge 1$ an integer, $\alpha \in [0,1]$ and $f\colon E \to F$ a $C^{k+\alpha}$ function (i.e., a $k$-times differentiable function such that $D^kf$ satisfies a H\"older condition of exponent $\alpha$).

\bigskip

\noindent{\bf Theorem 1}: {\it Under the above conditions, if $t > 0$ is a real number, $r < t$ is an integer, $A \subset E$ is a $t$-finite set such that rank$(Df(x)) \le r$,\,\, $\forall\,x \in A$ and $d = r+(t-r)/(k+\alpha)$, then:

\begin{itemize}
\item[{\rm (i)}] If $\alpha = 0$ (i.e., $f \in C^k)$, then $f(A)$ is $d$-null.
\item[{\rm (ii)}] If $||f|_A||_{C^{k+\alpha}} < \infty$ then there is a constant $C = C(||f||_{C^{k+\alpha}}\,,t,r,k,\alpha)$ such that $\mathcal{H}^d(f(A)) \le C\,\mathcal{H}^t(A)$.
\item[{\rm (iii)}] If $t$ is integer and $A$ is $t$-rectifiable, then $f(A)$ is $d$-null.
\end{itemize}
} 

\bigskip\noindent{\sc Remark}: If $\alpha = 1$ then statements (ii) and (iii) of the theorem remain true even if we just suppose that the $k$-th derivative of $f$ satisfies a local Zygmund condition.

The proof of Theorem 1 uses induction on the dimension of the domain $E$ of the function $f$. For differentiable mappings defined on infinite-dimensional spaces, the results of Theorem 1 are true if $k+\alpha \le 3$. These results are obtained by substituting the inductive argument by a simpler argument based on the mean-value theorem, that works if $k \le 2$. 

\bigskip

\noindent{\bf Theorem 2}: {\it Under the conditions of Theorem 1, if $E$ is a
Banach space then the same conclusions are true provided $k \le
2 , \alpha \in [0,1]$.}

The proof of Theorem 1 is based on auxiliary results whose proof uses techniques similar to the techniques of [4]. For instance, in order to prove Theorem 1 (i), use the following

\bigskip

\noindent{\bf Lemma 1.i}: {\it Let $\eta > 0$ be a fixed constant, $E$ a finite dimensional vector space, $F$ a normed vector space and $A \subset E$ a set of points of rank $\le r$ of a differentiable function $f\colon E \to F$ such that $||f|_A||_{C^1} < \infty$.

If $k \ge 1$ is an integer and $f \in C^k$ then there is a decomposition $\{A_i\}_{i\in\N}$ of $A$  and, for each $i\in\N$, a decomposition $E = E_i'\times E_i''$\,, with $\dim E_i'\le r$ such that if $S \subset E$,}
$$
\diam(f(S \cap A_i)) \le (||f|_{A_i}||_{C^1} + \eta)\diam(\pi_{E_i'}S) + \eta(\diam S)^k.\qquad\qed
$$

We will use this lemma to prove Theorem 1.(i): We can take a piece $A_i$ of the decomposition of $A$ given by the lemma, and we may suppose that $A_i \subset \underset{i=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}\,C_i$\,, where $C_i$ is a cube of side $\ve_i$ and 
$\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,\ve_i^t \le 1$. We take $\delta_i = \ve_i^k$ and we divide $C_i$ as the union of $(\ve_i/\eta\delta_i)^p$ blocks of
side $\eta\delta_i$ in the direction of $E_i'$\,, where $p = \dim E_i'\le r$. According to the lemma, if $B$ is one of these blocks, $\diam(f(B \cap A_i)) \le (||f|_A||_{C^1} + \eta)\eta\delta_i + \eta\ve_i^k \le K \eta \ve_i^k$\,, where $K$ is a constant. Thus, we have 
$$
\sum_{B\subset C_i} \diam(f(B\cap A_i))^d \le (\ve_i^{1-k}/\eta)^p(K\eta\ve_i^k)^j \le K^d \eta^{d-p}\,\ve_i^{kd+p(1-k)} = \OI(\ve_i^k),
$$
since $p \le r$,\,\, $d > r$ and $kd + r(1-k)=t$. This shows that $\mathcal{H}^d(f(A_i)) = 0$, and so $\mathcal{H}^d(f(A)) = 0$.\qquad\quad\qed

The results of the Theorems 1 and 2 are quite sharp. We can adapt the examples of [4] to show that we cannot relax the hypothesis of Theorem 1. Theorem 2 implies that for any Banach space $E$, a $C^{2+{\text{ lips.}}}$ function $f\colon E \to \re$ maps any $t$-dimensional critical set to a set of dimension $\le t/3$. The following example shows that this result cannot be improved by improving the differentiability hypothesis:

\bigskip

\noindent{\bf Example}: Let $f\colon \ell^2 \to \re$ given by
$$
f\bigg(\sum_{n=1}^\infty x_ne_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty (3.2^{-n\alpha}\, x_n^2-2x_n^3),\,\,\, \alpha \in \bigg[\frac 13\,, +\infty\bigg).
$$

Then $f \in C^\infty$ (moreover, $f^{(4)} \equiv 0$, so $f$ is ``polynomial'') and its critical set is $C = \underset{n=1}{\overset{\infty}{\prod}}\,\{0,2^{-n\alpha}\} = \big\{\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,x_ne_n, x_n\in\{0, 2^{-n\alpha}\}\big\}$.

We have $\mathcal{H}^{1/\alpha}(C) < +\infty$, and $f(C) = \big\{\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\, \delta_n\,2^{-3m\alpha}, \delta_n \in \{0,1\}\big\}$, which is a Cantor set of finite and positive measure of dimension $1/3\alpha$ if $\alpha > \dfrac 13$ and is the interval $[0,1]$ if $\alpha = \dfrac 13\,\cdot$ This shows that the conclusions of Theorem 1 are false if $k \ge 3$.



\vskip .3in

\centerline{-----------------------------------------}

\newpage


Selon le th\'eor\`eme classique de Morse-Sard, l'ensemble des valeurs
critiques d'une fonction $f\colon\re^n\overset{C^k}{\longrightarrow}\re^m$
est de mesure nulle en $\re^m$ si $k\ge\max\{n-m+1,1\}$. La base de ce r\'esultat est le lemme de d\'ecomposition suivant, de A.P. Morse:

\bigskip

\noindent{\bf Lemme de Criticalit\'e de Morse}: Soit $A \subset \re^n$ l'ensemble critique d'une
 fonction \linebreak $f\colon \re^n \overset{C^k}{\longrightarrow} \re$. Il y a une d\'ecomposition d\'enombrable $A = \underset{i=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}\,A_i$ telle que pour chaque $i\in\N$ et
chaque point d'accumulation $x$ de l'ensemble $A_i$ on a $\underset{\substack{y\to x\\ y\in A_i}}{\lim}\, \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^k} = 0$.

Ce lemme peut \^etre utilis\'e pour d\'emontrer que la dimension de Hausdorff de $f(A)$ est
major\'ee par $n/k$.

Nous allons pr\'esenter ici les id\'ees principales de la d\'emonstration des g\'en\'eralisations sui\-vantes du th\'eor\`eme de
Morse-Sard.

Soit $t > 0$ un r\'eel et $X$ un espace m\'etrique. Un sous-ensemble $A \subset X$ est dit $t$-fini si $\mathcal{H}^t(A) < \infty$, o\`u $\mathcal{H}^t$ est la mesure de Hausdorff en dimension $t$;\,\, $A$ est $t$-nul si $\mathcal{H}^t(A)=0$
; $A$ est $t$-r\'ectifiable (pour $t$ entier) si $A$ est (modulo un ensemble
$t$-nul) contenu dans une union d\'enombrable d'images lipschitziennes d'ouverts de
$\re^t$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ un espace vectoriel norm\'e, $k \ge 1$ un nombre entier, $\alpha \in [0,1]$ et $f\colon E \to F$ une fonction de classe $C^{k+\alpha}$ (i.e., une fonction de classe $C^k$ telle que $D^kf$ satisfait une condition de H\"older d'exposant $\alpha$).

\bigskip

\noindent
{\bf Th\'eor\`eme 1}: Sous les conditions pr\'ec\'edentes, si $t > 0$ est un r\'eel, $r < t$ un entier, $A \subset E$ est un ensemble $t$-fini tel que rang$(Df(x)) \le r$, $\forall\,x \in A$ et $d=r+(t-r)/(k+\alpha)$, alors:

(i) Si $\alpha=0$ (i.e., $f\in C^k)$ alors $\mathcal H^d(f(A))=0$.

(ii) Si $||f|_A||_{C^{k+\alpha}} < \infty$ alors il y a une constante $C = C(||f||_{C^{k+\alpha}}\,,t,r,k,\alpha)$ telle que $\mathcal H^d(f(A))\le C\mathcal H^t(A)$.

(iii) Si $t\in\Bbb{Z}_+$ et $A$ est $t$-rectifiable alors $\mathcal
H^d(f(A))=0$.

\bigskip

\noindent{\bf Remarque}: Les conclusions (ii) et (iii) du Th\'eor\`eme 1 sont
vraies dans le cas $\alpha = 1$ m\^eme si nous supposons seulement que $D^kf$ satisfait une condition de Zygmund locale.

\bigskip

\noindent
{\bf Th\'eor\`eme 2:} Lorsque $E$ est un espace de
Banach les conclusions du Th\'eor\`eme 1 son encore valables pour $k\le 2$ ,
$\alpha\in [0,1]$.

La d\'emonstration du Th\'eor\`eme 1 est bas\'ee sur le lemme suivant, qui est
d\'emontr\'e en utilisant des techniques similaires aux techniques de [4].

\bigskip

\noindent
{\bf Lemme 1:} Soient $\eta>0$, $E$ un espace euclidien, $F$ un espace
vectoriel norm\'e et $A\subset E$ un ensemble de points de rang $r$ d'une
fonction diff\'erentiable $f\colon E\to F$.

\bigskip

1) Si $k\in\Bbb{Z}_+$, $k\ge2$ et $f\in C^k$ alors il existe une
d\'ecomposition $\{A_i\}$ de $A$ et, pour chaque  $i$, une d\'ecomposition $E=E_i'\times E_i''$ avec $\dim
E_i'\le r$ telle que si $S\subset
E$,
$$
\text{diam}(f(S\cap A_i))\le (\Vert
f|_{A_i}\Vert_{C^1}+\eta)\text{diam}(\pi_{E_i'}S)+ \eta(\text{diam }S)^k
$$

\bigskip

2) Si $k\in\Bbb{Z}_+$, $\alpha\in[0,1]$ et $k+\alpha>2$ alors il existe une
d\'ecomposition $\{A_i\}$ de $A$ telle que pour chaque $i$ il y a une constante $M_i>0$ et une
d\'ecomposition $E=E_i'\times E_i''$ avec $\text{dim }E_i'\le r$ telle que si
$S\subset E$,
$$
\text{diam}(f(S\cap A_i))\le (\Vert
f|_{A_i}\Vert_{C^1}+\eta)\text{diam}(\pi_{E_i'}S)+ M_i(\text{diam }S)^{k+\alpha}
$$

\bigskip

3) Si $A$ est $t$-rectifiable pour $t\in\Bbb{Z}_+$, alors il y a une
d\'ecomposition $\{A_i\}$ de $A$ telle que $\mathcal H^t(A_0)=0$,
$\sum_i(\text{diam }A_i)^t\le \mathcal H^t(A)+1$ et pour chaque $i\not=0$ il y a une constante $M_i>0$ et
une d\'ecomposition $E=E_i'\times E_i''$ avec $\dim E_i'\le r$ telle que si $S\subset
E$,
$$
\text{diam}(f(S\cap A_i))\le (\Vert
f|_{A_i}\Vert_{C^1}+\eta)\text{diam}(\pi_{E_i'}S)+\eta(\text{diam }A_i)^{k+\alpha}\quad\qed
$$
 
Pour la d\'emonstration du Th\'eor\`eme 2, ce lemme sera remplac\'e par le
lemme suivante, qui peut \^etre d\'emontr\'e en utilisant le th\'eor\`eme
des
accroissements finis:

\bigskip

\noindent
{\bf Lemme 2:} Soit $E$ un espace de Banach. Si $k \in \{1,2\}$ et $\alpha \in [0,1]$ alors les conclusions du Lemme 1 sont vraies.\qquad\quad\qed




On va d\'emontrer le Th\'eor\`eme 1, (i). Pour cela, on va utiliser la
partie
1) du Lemme 1. Les autres parties du Th\'eor\`eme 1 et le Th\'eor\`eme 2 suivent
les m\^emes id\'ees, en utilisant les autres parties du Lemme 1 et le Lemme 2.

On peut prendre une pi\`ece $A_j$ de la d\'ecomposition de $A$ donn\'ee par le
Lemme 1, (1), et on peut supposer que $A_j \subset
\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\,C_i$\,, o\`u $C_i$ est un cube
de cot\'e $\ve_i$ et $\sum\limits_{i=1}^\infty \ve_i^t \le 1$. On prend
$\delta_i = \ve_i^k$ et on divise $C_i$ dans la direction de $E_j'$ en
$(\ve_i/\eta\delta_i)^p$ pav\'es de cot\'e $\eta\delta_i$ dans la direction de
$E_j'$, o\`u $p = \dim E' \le r$. Selon le lemme, si $B$ est un de ces pav\'es,
$\text{diam}(f(B \cap A_j)) \le (||f||_1+\eta)\eta\delta_i + \eta\ve_i^k \le K\eta\ve_i^k$\,, o\`u $K$ est une constante, et on a $\sum\limits_{B\subset C_i}\text{diam}(f(B\cap
A_j))^d \le (\ve_i^{1-
k}/\eta)^p\cdot (K\eta\ve_i^k)^d \le K^d\eta^{d-p}\ve_i^{kd+p(1-k)} =
o(\ve_i^t)$, parce que $p \le r$, $d > r$ et $kd + r(1-k) = t$. Cela d\'emontre
que $\mathcal H^d(f(A_j))=0$, d'o\`u $\mathcal H^d(f(A))=0$. \qed

\bigskip

Les r\'esultats des Th\'eor\`emes 1 et 2 sont les meilleurs possibles, comme on
peut d\'emontrer par des exemples, qui sont des variations de ceux de [4] pour le
Th\'eor\`eme 1 et le suivant pour le Th\'eor\`eme 2.

Le Th\'eor\`eme 2 implique que pour un espace de Banach $E$ et une fonction $f\colon E \to \re$ de classe $C^{2+\text{ lips.}}$, l'image d'un ensemble de dimension $t$
est de dimension $\le t/3$. L'exemple suivant montre qu'on ne peut pas
am\'eliorer ce r\'esultat en changeant les hypoth\`eses de diff\'erentiablilit\'e.

\bigskip

\noindent
{\bf Exemple}: Soit $F\colon \ell^2 \to \re$ donn\'ee par
$$
F\bigg(\sum_{n=1}^\infty x_ne_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty (3\cdot 2^{-
n\al}x_n^2-2x_n^3), \quad \al \in \big[ \frac 13, +\infty \big).
$$

Alors $F$ est de classe $C^\infty$ (nous avons m\^eme $F^{(4)}\equiv 0$, donc $F$ est
``polynomiale''), et l'ensemble critique de $F$ est $C =
\prod\limits_{n=1}^{\infty}\{0,2^{-n\al}\} = \{\sum\limits_{n=1}^\infty
x_ne_n, x_n \in \{0,2^{-n\al}\}\}$.

Nous avons $\mathcal H^{1/\al}(C) < +\infty$, et $F(C) = \{\sum\limits_{n=1}^\infty
\delta_n 2^{-3m\al}, \delta_n \in \{0,1\}\}$, qui est un ensemble de Cantor de
mesure finie et positive en dimension $1/3\al$ si $\al > \frac 13$ et est \'egal
a $[0,1]$ si $\al = \frac 13$\,. Cela montre que les conclusions du Th\'eor\`eme 1 sont
fausses pour $k \ge 3$.


\vskip .5in

\centerline{\bf R\'ef\'erences bibliographiques}

\bigskip

\begin{itemize}

\item[{[1]}] Bates, S.M., Toward a precise smoothness hypothesis in Sard's theorem. {\it Proc. Amer. Math. Soc.\/} {\bf 117} (1993) 279--283.

\item[{[2]}] Bates, S.M. and Moreira, C.G., A generalization of Sard's theorem, preprint, 2000.

\item[{[3]}] H. Federer, Geometric measure theore, Grundlehren Math. Wiss., vol. {\bf 153}, 
Springer-Verlag, New York, (1969).

\item[{[4]}] Moreira, C., Hausdorff measures and the Morse-Sard theorem, preprint, submited to Publicacions Mathematiques.

\item[{[5]}] Morse, A., The Behavior of a function on its critical set, {\it Ann. Math.\/} {\bf 40} (1939)
62--70.

\item[{[6]}] Norton, A., The Zygmund Morse-Sard theorem, {\it J. Geom. Analysis\/} {\bf 4} (1994)
403--424.

\item[{[7]}] Sard, A., Images of critical sets, {\it Ann. Math.\/} {\bf 68} (1958) 247--259.

\item[{[8]}] Sard, A., Hausdorff measure of critical images on Banach manifolds, {\it Amer. J. Math.\/} {\bf 87} (1965), 158--174.
\end{itemize}

\end{document}
