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Coleção Matemática Universitária

Álgebra Linear - Descrição
Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares possuem matrizes. Também possuem matrizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transfomações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. São numerosas e bastante variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, onde esses objetos ocorrem, Daí a importância central da Álgebra Linear no ensino da Matemática.

O presente livro apresenta uma exposição introdutória de Álgebra Linear. Ele não pressupõe conhecimentos anteriores sobre o assunto. Entretanto convém lembrar que a posição natural de um tal curso no currículo universitário vem após um semestre (pelo menos) de Geometria Analítica a duas e três dimensões, durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade, em nível elementar, com a representação algébrica de idéias geométricas e vice-versa.

O livro é dividido em vinte e duas seções. As oito primeiras desenvolvem os conceitos fundamentais e as proposições básicas, que formam a linguagem mínima necessária para falar inteligentemente sobre Álgebra Linear. A nona seção faz a primeira aplicação dessas idéias, tratando da eliminação gaussiana.

A partir da Seção 10, os espaços dispõem de produto interno, o que possibilita o emprego de evocativas noções geométricas como perpendicularismo, comprimento, distância, etc. São destacados tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades especiais são demonstradas nas Seções 13, 14 e 15. O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos é provado na Seção 13, onde se demonstra também o Teorema dos Valores Singulares (Teorema 13.10), cuja grande utilidade não corresponde à sua conspícua ausência na maioria dos textos elementares. A Seç&atildeo 15 trata dos operadores normais em espaços vetoriais reais, incluindo os operadores anti-simétricos como caso particular.

Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido no ensino da Álgebra Linear é a pseudo-inversa, exposta na Seção 16. Trata-se de um tópico fácil, atraente, de grande apelo geométrico, que constitui um bom campo de aplicação para os conceitos anteiormente estudados.

A Seção 17 é um interlúdio matricial, onde se mostra como as propriedades das transformações lineares estudadas antes se traduzem imediatamente em fatos não-triviais sobre matrizes, principalmente algumas decomposições de grande utilidade nas computações.

As formas bilineares e quadráticas são estudadas na Seção 18, onde é estabelecida a correspondência fundamental (isomorfismo) entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos Eixos Principais (Teorema 18.3), que é a versão do Teorema Espectral para formas quadráticas. É ainda exposto o método de Lagrange para reduzir uma forma quadrática e uma soma (ou diferença) de quadrados e é feito um estudo das superfícies quádricas.

Os determinantes são estudados na Seção 19, onde se define diretamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz nxn é caracterizado como a única função n-linear alternada de suas colunas (ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unitária. A colocação dos determinantes quase no final do livro, depois de já terem sido estabelecidos os resultados principais da Álgebra Linear e ensinados os métodos mais eficientes para resolver sistemas, inverter matrizes etc, é uma atitude deliberada, que visa pôr esse conceito em seu devido lugar. Trata-se de uma noção de grande importância teórica, indispensável em várias áreas da Matemática, a qual foi, e ainda não deixou inteiramente de ser, equivocadamente considerada como instrumento computacional. Usar a Regra de Cramer para resolver um sistema linear, ou calcular o determinante de um operador para ver se ele é invertível ou não, são métodos que funcionam bem no caso 2x2, e até mesmo 3x3, mas se tornam altamente inviáveis a partir daí.

Depois que se têm os determinantes, o polinômio característico é estudado na Seção 20. Esse estudo se completa na Seção 21 com a introdução dos espaços vetoriais complexos, nos quais vale o notável fato de que todo operador possui auto-vetores, logo pode ser triangularizado. Este resultado é devidamente explorado, o que concede a esta seção um ar de happy ending para a teoria, mais não o fim do livro.

A seção final, número 22, apresenta uma breve exposição das equações a diferenças finitas, essencialmente limitata às equações (e sistemas) lineares de segunda ordem. Basicamente, trata-se de obter métodos eficazes de calcular as potências sucessivas de um operador ou de suas matrizes.

No apêndice apresenta-se um tratamento simples da forma canônica de Jordan, tanto do ponto de vista matricial quanto do ponto de vista de operadores.